Développement : Théorème de Molien

Détails/Enoncé :

Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb{C})$. On pose $A= \mathbb{C} [X_1 , \ldots , X_n]$. On définit la représentation $\rho$ suivante de $G$ :

$$ \rho(g)(P) = P \circ g^{-1} $$

où $P \in A$. Cette représentation conserve $A_k$ : les polynômes $k$ homogènes de $A$ pour tout $k$. On note $A_k^G$ l'ensemble des vecteurs invariants de $A_k$ sous l'action de $G$. On note $a_k(G)$ la dimension de cet espace. Alors

$$ \sum_{k\ge 0} a_k(G) X^k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{1}{\det( id - Xg)} $$