Leçon 107 : Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.

(2014) 107
(2016) 107

Dernier rapport du Jury :

(2015 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.) Il s'agit d'une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. Le candidat doit, d'une part, savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes. Il doit, d'autre part, savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et savoir également trouver la table de caractères de certains sous-groupes. On voit souvent dans les développements qu'un candidat qui sait manier les techniques de base sur les caractères ne sait pas forcément relier ceux-ci aux représentations. Le caractère est un outil puissant, mais il reste un outil, ce n'est pas l'intérêt ultime de la leçon. Dans le même ordre d'idée, le lemme de Schur est symptomatique d'une confusion : dans le cas où les deux représentations $V$ et $V'$ sont isomorphes, on voit que les candidats confondent isomorphisme de $V$ dans $V'$ avec endomorphisme de $V$. Par exemple, diagonaliser une application linéaire de $V$ dans $V'$ est une faute avérée, il faut pour cela identifier $V$ et $V'$, ce que le candidat devrait faire de façon consciente et éclairée.

(2014 : 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.) Il s'agit d'une leçon où théorie et exemples doivent apparaître. Le candidat doit d'une part savoir dresser une table de caractères pour des petits groupes. Il doit aussi savoir tirer des informations sur le groupe à partir de sa table de caractères, et aussi savoir trouver la table de caractères de certains sous-groupes. Les développements prouvent souvent qu'un candidat qui sait manier les techniques de base sur les caractères ne sait pas forcément relier ceux-ci aux représentations. Dans le même ordre d'idée, le lemme de Schur est symptomatique d'une confusion : dans le cas où les deux représentations $V$ et $V'$ sont isomorphes, on voit que les candidats confondent isomorphisme de $V$ dans $V'$ avec endomorphisme de $V$. Ce qui revient implicitement à identifier $V$ et $V'$ , ce que le candidat devrait faire de façon consciente et éclairée.

Plans/remarques :

2015 : Leçon 107 - Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.


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