Développement : Structure des groupes abéliens finis

Détails/Enoncé :

Soit $G$ un groupe abélien fini non trivial. Il existe un entier $r \ge 1$ et des entiers $n_1 , \ldots , n_r \ge 2$ tels que $n_r | n_{r-1} | \cdots | n_1 $ et
$$G \simeq \mathbb{Z}/n_1 \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/n_r \mathbb{Z}$$

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    D'après moi pour les leçons : 102, 104, 107, 120 et très éventuellement 142 (pour la partie unicité).

    C'est vraiment bien fait dans le livre de G. Berhuy (que je trouve remarquable à titre personnel), donc si vous cherchez une bonne source n'hésitez pas à y jeter un coup d'oeil.

    Il est indispensable de savoir montrer que dans un groupe abélien fini, il existe un élément d'ordre l'exposant du groupe...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Je ne démontre que la partie existence, en passant par la notion de bidual.
    Par ailleurs, j'utilise comme définition de l'exposant "le maximum des ordres des éléments du groupe". Cette définition est équivalente avec la définition de l'exposant comme le ppcm des ordres dans le cas des groupes abéliens (cette équivalence doit être démontrée dans le plan).
    (p252)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Elements d'analyse et d'algèbre , Colmez (utilisée dans 17 versions au total)
Algèbre discrète de la transformée de Fourier , Peyré (utilisée dans 22 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 51 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 114 versions au total)