Leçon 102 * : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

(2019) 102

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.) Cette leçon ne peut faire l’impasse sur les aspects élémentaires du sujet (définitions, exponentielle complexe, trigonométrie, etc.), mais elle ne doit s’y cantonner. Elle doit aborder l’aspect « groupe » de $S^1$ en considérant son lien avec $(R,+)$ et en examinant ses sous-groupes (en particulier finis). Il faut aussi envisager des applications en géométrie plane. Plus généralement, la leçon invite à expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques : spectres de matrices remarquables, polynômes cyclotomiques, représentations de groupes, etc. On peut également s’intéresser aux sous-groupes compacts de $C^*$. Pour aller plus loin, on peut s’intéresser aux nombres de module 1 et aux racines de l’unité dans $Q[i]$, ou à la dualité des groupes abéliens finis (notamment la preuve du théorème de structure par prolongement de caractère) ou encore aux transformées de Fourier discrètes et rapides. Des aspects analytiques du sujet peuvent être évoqués (théorème de relèvement, logarithme complexe, analyse de Fourier sur $R^n$ mais ne doivent occuper ni le coeur de l’exposé, ni l’essentiel d’un développement.

(2017 : 102 - Groupe des nombres complexes de modules $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications) Cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects élémentaires. Elle doit donner l’occasion d’expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même, il est pertinent d’étudier les sous-groupes finis de $S^1$ dans cette leçon. On pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$. Les transformées de Fourier discrètes et rapides peuvent aussi être abordées dans cette leçon.
(2016 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Il ne faut pas uniquement aborder cette leçon de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même les sous-groupes finis de $S^1$ sont intéressants à considérer dans cette leçon. On pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$ .
(2015 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie "groupe" de la leçon : on pourra s'intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent (par exemple l'alternative "sous-groupes denses versus sous-groupes monogènes"). On pourra aussi s'intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l'unité qui y appartiennent.
(2014 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, théorie des représentations, spectre de certaines matrices remarquables).

Plans/remarques :

2019 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.


2017 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de modules $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications


2016 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.


2015 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Leçon choisie :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Autre leçon :

    122 : Anneaux principaux. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de demandes de clarifications sur des choses extrêmement simples que j’avais énoncées dans mon plan ou dans mon développement (par exemple : « qu’est-ce que l’ordre d’un élément d’un groupe ? », « pouvez-vous énoncer le théorème de relèvement C1 ? », etc.).

    Une partie significative (peut-être dix minutes ?) de l’échange a consisté à redémontrer un lemme que j’avais admis pour la preuve de mon développement, a savoir que dans un groupe abélien fini, il existe un élément ayant pour ordre l’exposant du groupe. J’ai été très fréquemment coupé dans ma démonstration par le jury qui voulait des exemples, des précisions, des liens avec d’autres théorèmes, etc.

    J’ai également eu beaucoup de demandes de preuves des résultats les plus simples énoncés sans preuve : pourquoi les valeurs d’un caractère d’un groupe abélien fini sont-elles des sommes de racines de l’unité ; démontrer l’existence et l’unicité de la décomposition polaire d’une matrice réelle inversible…

    Quelques exercices très simples et questions proches de mon plan appelant seulement des exemples ou contre-exemples m’ont été posées, notamment (je ne me souviens pas de tout) : le fait que dans un groupe abélien fini, il existe un élément d’ordre l’exposant reste-t-il vrai si le groupe n’est plus supposé abélien ? Les noyaux de Dirichlet constituent-ils une approximation de l’unité ? Comment peut-on démontrer les identités trigonométriques de base à partir de la définition du sinus et du cosinus en séries entières ?

    Le seul exercice un peu élaboré qui m’ait été posé est : que peut-on dire d’un morphisme de groupes (U,×) ⟶ (U,×) (où U est le groupe des racines de l’unité). Je n’ai malheureusement pas réussi à faire l’exercice, pour cause de stress et canicule, et le jury m’a fait passer à autre chose, ce qui fait que j’ai été surpris de ma note…

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois jurés qui se répartissaient assez bien les rôles, chaque membre ayant visblement sa préférence dans mon plan, si bien qu’ils m’ont posé des questions sur des sujets assez distincts. Posture assez neutre : ni particulièrement sympathique, ni cassant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je passais l’agrégation en candidat libre, et n’avais jamais fait d’oraux blancs ni assisté à des oraux. C’était ma dernière épreuve, après ma leçon d’analyse et l’épreuve de modélisation.

    J’ai été surpris par le fait que mes développements, que je connaissais pourtant bien, m’ont « échappé », et j’ai perdu facilement une demi-heure à tenter de retrouver un bout manquant du théorème de Wantzel, que j’ai finalement abandonné pour présenter celui sur les caractères de groupes abéliens finis.

    Dès lors, assez peu de temps disponible pour relire mon plan, ce qui fait que j’ai laissé quelques erreurs, en particulier sur l’énoncé de mon développement (oubli d’une hypothèse d’abélianité du groupe, je crois) : j’ai donc fait tout mon développement avec l’hypothèse omise, et le jury a semblé offusqué du fait que j’aie incorrectement écrit mes hypothèses. Je me suis rattrapé dès que le jury m’a tendu une perche, mais je pensais avoir beaucoup perdu pour cette raison (spoiler : non).

    Autre conséquence de ce manque de temps : pas eu le temps de bien réfléchir à ce sur quoi je voulais insister dans ma défense de plan, et ma présentation a donc assez peu apporté à l’écrit. En particulier, je n’ai pas du tout réussi à insister sur la partie qui m’intéressait le plus (cyclotomie et théorème de Wantzel), si bien que je n’ai eu aucune question à ce sujet pendant l’oral.

    Un point important, qui concerne mes deux oraux : ce sont manifestement les thèmes développés qui étaient proposés dans le rapport de jury qui ont appelé le plus de développements. Je pense qu’il vaut donc mieux ne suivre les pistes proposées dans le rapport qu’à condition d’avoir un peu de bouteille…

    Cela dit, il paraît clair avec du recul que sur un sujet aussi simple, maîtriser deux développements pertinents assurait de pouvoir avoir une bonne note, les trois heures servant simplement à organiser les idées et exemples venant de multiples champs des mathématiques…

  • Note obtenue :

    20