Sous-groupes distingués et tables de caractères

Application aux sous-groupes distingués de $D_4$

Structure des groupes abéliens finis

Voir le livre de Peyré pour l'existence et le livre d'Ulmer pour l'unicité.
Pour les leçons 102, 107 et 110 je conseille d'admettre l'unicité.
Pour les leçons 104 et 120 je conseille d'admettre le lemme de prolongement des caractères.

Sous-groupes distingués et tables de caractères

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/

Étude du groupe A4

J'ai partiellement utilisé l'exemple page 64 du livre mis en référence (seconde édition), mais attention : j'ai réadapté le contenu de l'exemple pour construire mon développement. C'est donc un développement partiellement inventé, cependant il est facile à comprendre et à refaire.
Les énoncés des deux lemmes sont posés comme exercices dans le livre (cf. exercice 4.6 + exercice 1.12 question 1), de plus le dernier est corrigé par l'auteur en page 167.
Le dernier résultat témoigne que $\mathfrak{A}_4$ montre que la "réciproque" du théorème de Lagrange est fausse, dans le sens où pour tous entiers positifs $d$ et $n$ tels que $d$ divise $n$, tout groupe d'ordre $n$ n'admet pas nécessairement de sous-groupe d'ordre $d$.

Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué

Pour les leçons : 101, 104, 105.
J'aimais bien ce développement mais une professeure m'a déconseillé de le faire car les deux résultats n'ont pas grand chose à voir, donc ça sent le recasage.

Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)

Dév pas costaud, il suffit de bien poser les choses et il se fait bien.

Je fais d'abord le théorème de Cauchy, puis un théorème d'existence de groupes dont l'ordre est une puissance de p que j'ai appelé premier théorème de Sylow. Cela peut faire peur car Sylow est hors programme, mais ce résultat n'est pas le théorème de Sylow dans son intégralité...

Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

Je suis parti dans un axe 'théorie des modules' voire catégories. Ça me plait mais ça ne plait peut-être qu'à moi !

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Anneaux Z/nZ. Applications.

Nombres premiers. Applications.

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Anneaux Z/nZ. Applications.

Arnaudiès Fraysse pour la construction de Z/nZ
De Koninck Mercier pour l'arithmétique
Perrin pour les applications sur les polynômes
Une fois que ces 3 références sont trouvées et utilisées, cette leçon devient bcp plus agréable à faire

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Ce plan est divisé selon la structure de l'ensemble sur lequel le groupe agit.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann, Pecatte

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon qui peut faire peur au premier abord car il est rare d'avoir eu un cours sur cette thématique.
Finalement, elle est super cool à faire et change beaucoup des autres leçons :))

Mon plan contient beaucoup de résultats (63) mais c'est surtout la première partie qui est longue (24) et peut-être qu'il n'est pas nécessaire de rappeler certaines définitions en théorie des groupes.

Mes développements sont : "Nombre de Bell" et "Loi de réciprocité quadratique" qui rentrent impec dedans ;)

Il y a beaucoup de références mais elles ont déjà toutes été utilisées dans d'autres leçons donc bon…

On peut remplacer le Isenmann par le Caldero bien entendu…

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Un plan juste un peu court (qui convient aux plus grosses écritures, disons).

Il faut ajouter des exemples (et en compléter d'autres).

Groupes finis. Exemples et applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

J'aime bien le point de vue actions de groupes pris par Ulmer.

Ma partie II d'applications est très longue parce qu'elle explore de nombreux sujets. En pratique, il vaut mieux mettre 2 ou 3 paragraphes.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg

Nombres premiers. Applications.

Ma partie d'applications est très longue parce qu'elle explore de nombreux sujets. En pratique, il vaut mieux mettre 2 ou 3 paragraphes.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon présentée en cours d'année

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Groupes finis. Exemples et applications.

Si c'était le jour J j'aurais enlevé les groupes diédraux, et j'aurais allongé la partie sur les représentations de groupes, en mettant la table de S4.

Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.

Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Leçon sur laquelle je suis passé en oral blanc de fin d'année.
La quatrième page correspond à mon brouillon de leçon, que je faisais durant l'année (par manque de temps de tout détailler). Cela vous permettra de comparer… et de comprendre pourquoi je n'ai pas mis tous mes plans sur ce site.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Il y a en fichiers ma version manuscrite; faite en oral blanc en 1h30. Je viens de taper le plan en tex. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

L'idée de mettre en valeur les deux aspects de la leçon (agir pour comprendre le groupe / pour comprendre l'ensemble) ne vient pas de moi, je pense que c'est une bonne idée car c'est suggéré par le rapport du jury

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 103.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 105.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 108.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

J'ai fait cette leçon un peu vite... J'ai oublié le 3e théorème d'isomorphisme qu'il faut mettre évidemment.
Il ne faut pas oublier de parler du sous-groupe dérivé. La théorie de Sylow n'est pas obligatoire (parce que pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
La partie géométrie est appréciée du jury
Il faut savoir donner les classes de conjugaison de S_n.

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Il faut penser à parler des classes de conjugaison, avoir une idée de la démonstration, savoir dire si deux permutations sont conjuguées.
Il faut aussi connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints (comme précisé dans le rapport du jury 2023) ! Et il faut aussi bien sûr savoir faire en pratique
Dans la partie Applications, j'ai choisi de parler des polynômes symétriques, ça peut être remplacé par la théorie de Sylow mais je trouve que ça se justifierait moins bien...
J'ai oublié d'encadrer le DEV 2 mais il s'agit des points 56,57,58 que vous trouverez un peu éparpillés dans le Gourdon et dans un des Francinou Oraux X-ENS...

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Leçon trop longue, il faudrait élaguer un peu je pense.

Je fais toujours une feuille à part avec le plan, les réfs, des commentaires sur la leçon et comment faire la leçon.
C'est assez personnel et très peu formel mais je partage au cas où ça soit utile.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Je suis passé sur cette leçon le jour de mon oral. Je ne l'avais pas préparée (et à vrai dire, j'avais préparé seulement une dizaine de leçons sur les 70 de la session 2024). Malgré tout, l'oral s'est bien passé. J'ai écrit ma leçon en 2h45. La leçon que je vous partage ci-dessous est presque identique à la version présentée le jour de l'oral. Par rapport à la version présentée, j'ai ajouté l'application 19, le théorème 34, le lemme 35 et le théorème 36.
Note obtenue : 18/20.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Lorsque j'avais écrit ce plan, j'avais l'intention de proposer les développements suivants :
-1) Simplicité de $\mathfrak{A}_n$
-2) Automorphismes intérieurs $\mathfrak{S}_n$.
Toutefois, le développement 2) étant à la fois trop technique et trop long pour mon niveau, j’ai finalement renoncé à le présenter. Je l'ai remplacé par le développement "théorème de Cauchy et classification des groupes d'ordre 6", accessible via ce lien : https://agreg-maths.fr/developpements/1539
Pour l'intégrer dans cette leçon, on pourrait retirer la partie 2.3 et mettre ce développement dans la partie 3.1.

Nombres premiers. Applications.

Plan réalisé en conditions réelles durant un oral blanc. Ma professeure l'a validé, et a dit que son point fort était que des domaines variés étaient abordés donc que cela incitait le jury à poser des questions sur un peu tout le plan.
Dans cette leçon il y a énormément de choix possibles, donc il faut mettre ce sur quoi on est le plus à l'aise. En revanche la première grande partie me semble incontournable, même si je ne pense pas que les questions du jury porteront beaucoup dessus.
Durant la défense du plan, il faut bien insister sur la pertinence des objets étudiés (par exemple justifier la place des polynômes cyclotomiques dans cette leçon).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin et Ewna. Merci à elles/eux !
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon assez "straightforward" à préparer. La majorité de la leçon est tirée du Rombaldi, les dévs sont du Perrin et Caldero, le Gourdon pour quelques détails et le Ulmer pour les applications de Sylow.

Je suis tombé sur les isomorphismes exceptionnels le jour J, j'ai mis les questions que j'ai eu sur ma page dans le dév.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Je trouve qu'il y a beaucoup de choses à dire dans cette leçon si on aime bien la théorie des groupes.

J'utilise le Rombaldi pour la majeure partie du plan, Perrin pour le dév sur Sylow, Ulmer pour des applications de Sylow, Peyré pour les classes de conjugaison de Sn (c'est sûrement traité ailleurs) et Caldero pour le 2e dév. Néanmoins, j'ai pas de réf pour les classes de conjugaison dans An (elles restent les mêmes que celles de Sn ou se coupent en 2).

Groupes finis. Exemples et applications.

Il y a beaucoup de choses à mettre dans cette leçon, il s'agit donc de faire des choix. Mon plan est assez basique, si ce n'est la partie sur Sylow qui est hors programme mais pas tant que ça. Et ça rentre parfaitement dans cette leçon puisqu'à partir de l'ordre du groupe, on peut obtenir pleins d'informations sur celui-ci.

J'utilise le Rombaldi pour la majeure partie du plan, le Perrin pour Sylow et Ulmer pour les applications de Sylow, le Peyré pour la théorie des caractères et le Caldero pour le théorème 5/8.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

J'aime bien mon plan, qui est assez classique. La deuxième partie permet de mettre en valeur les deux types d'actions que l'on utilise le plus.
J'ai fais ma troisième partie sur les actions sur les groupes de matrices car je ne trouvais d'autres applications qui me conviennent, mais on peut aller dans beaucoup d'autres directions. De toute façon cette partie se recase dans d'autres leçons.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Attention, mon méta-plan est correct, mais pas mon plan manuscrit (j'ai déplacé la partie sur les $p$-groupes car elle doit arriver après les groupes quotients).
Mon deuxième développement était sur les sous-groupes distingués de $S_n$ car je trouvais celui sur la simplicité de $A_n$ trop compliqué à retenir.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupes finis. Exemples et applications.

L'intérêt de cette leçon est qu'elle ne nécessite pas beaucoup de références.
J'aime bien mon plan, à savoir l'idée de présenter un groupe fini abélien et un non-abélien. Après je n'ai pas eu de retours dessus donc je ne sais pas si cela convient.
Comme deuxième développement j'ai préféré faire la formule de Burnside et une application au lieu de faire un développement sur le groupe symétrique (je ne voulais pas avoir trop de questions sur cette notion).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Une des leçons les plus simples à faire, même si je n'étais pas fan de cette notion. En effet, il suffit de suivre le Berhuy (ou le Rombaldi selon vos goûts) et ensuite juste rajouter des applications.
Il faut bien savoir comment vous définissez le morphisme signature, car plusieurs constructions sont possibles et l'ordre des propriétés change alors.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Si on aime le dénombrement, cette leçon est un régal car on peut aller dans de nombreuses directions.
Je pense que la première partie est incontournable, de toute façon il suffit de suivre le Gourdon à la lettre.
L'inconvénient de cette leçon est que pour chaque résultat énoncé, la démonstration est vraiment différente, donc il est difficile de mémoriser toutes les preuves (et le jury demandera forcément de démontrer un résultat du plan).
Je ne vois pas trop comment défendre les parties durant la présentation de 6 minutes, étant donné qu'à chaque fois c'est "tel résultat est utile/intéressant, et son lien avec la combinatoire c'est qu'on utilise la dénombrement dans sa démonstration".
Pour les développements proposés, il faut évidemment s'attarder sur la partie dénombrement et passer plus vite sur le reste.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupes finis. Exemples et applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).