Théorie des Groupes

Félix Ulmer

Utilisée dans les 3 développements suivants :

Sous-groupes distingués et tables de caractères
Structure des groupes abéliens finis
Étude du groupe A4

Utilisée dans les 13 leçons suivantes :

110 (2019) Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.
101 (2024) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102 (2024) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
103 (2024) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 (2024) Groupes finis. Exemples et applications.
105 (2024) Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106 (2024) Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
107 (2021) Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.
108 (2024) Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
120 (2024) Anneaux Z/nZ. Applications.
121 (2024) Nombres premiers. Applications.
190 (2024) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
191 (2024) Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Utilisée dans les 4 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    J'ai partiellement utilisé l'exemple page 64 du livre mis en référence (seconde édition), mais attention : j'ai réadapté le contenu de l'exemple pour construire mon développement. C'est donc un développement partiellement inventé, cependant il est facile à comprendre et à refaire.
    Les énoncés des deux lemmes sont posés comme exercices dans le livre (cf. exercice 4.6 + exercice 1.12 question 1), de plus le dernier est corrigé par l'auteur en page 167.
    Le dernier résultat témoigne que $\mathfrak{A}_4$ montre que la "réciproque" du théorème de Lagrange est fausse, dans le sens où pour tous entiers positifs $d$ et $n$ tels que $d$ divise $n$, tout groupe d'ordre $n$ n'admet pas nécessairement de sous-groupe d'ordre $d$.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 40 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Version manuscrite; ce plan a été fait en oral blanc en 1h30. Peut être aurais-je un jour l'occasion de le taper. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
    Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
    Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
    Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
    pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
    pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
    pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
    Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
    Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!
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