Sous-groupes distingués et tables de caractères

Application aux sous-groupes distingués de $D_4$

Structure des groupes abéliens finis

Voir le livre de Peyré pour l'existence et le livre d'Ulmer pour l'unicité.
Pour les leçons 102, 107 et 110 je conseille d'admettre l'unicité.
Pour les leçons 104 et 120 je conseille d'admettre le lemme de prolongement des caractères.

Sous-groupes distingués et tables de caractères

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/

Étude du groupe A4

J'ai partiellement utilisé l'exemple page 64 du livre mis en référence (seconde édition), mais attention : j'ai réadapté le contenu de l'exemple pour construire mon développement. C'est donc un développement partiellement inventé, cependant il est facile à comprendre et à refaire.
Les énoncés des deux lemmes sont posés comme exercices dans le livre (cf. exercice 4.6 + exercice 1.12 question 1), de plus le dernier est corrigé par l'auteur en page 167.
Le dernier résultat témoigne que $\mathfrak{A}_4$ montre que la "réciproque" du théorème de Lagrange est fausse, dans le sens où pour tous entiers positifs $d$ et $n$ tels que $d$ divise $n$, tout groupe d'ordre $n$ n'admet pas nécessairement de sous-groupe d'ordre $d$.

Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué

Pour les leçons : 101, 104, 105

Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

Je suis parti dans un axe 'théorie des modules' voire catégories. Ça me plait mais ça ne plait peut-être qu'à moi !

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Anneaux Z/nZ. Applications.

Nombres premiers. Applications.

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Anneaux Z/nZ. Applications.

Arnaudiès Fraysse pour la construction de Z/nZ
De Koninck Mercier pour l'arithmétique
Perrin pour les applications sur les polynômes
Une fois que ces 3 références sont trouvées et utilisées, cette leçon devient bcp plus agréable à faire

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Ce plan est divisé selon la structure de l'ensemble sur lequel le groupe agit.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann, Pecatte

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon qui peut faire peur au premier abord car il est rare d'avoir eu un cours sur cette thématique.
Finalement, elle est super cool à faire et change beaucoup des autres leçons :))

Mon plan contient beaucoup de résultats (63) mais c'est surtout la première partie qui est longue (24) et peut-être qu'il n'est pas nécessaire de rappeler certaines définitions en théorie des groupes.

Mes développements sont : "Nombre de Bell" et "Loi de réciprocité quadratique" qui rentrent impec dedans ;)

Il y a beaucoup de références mais elles ont déjà toutes été utilisées dans d'autres leçons donc bon…

On peut remplacer le Isenmann par le Caldero bien entendu…

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Un plan juste un peu court (qui convient aux plus grosses écritures, disons).

Il faut ajouter des exemples (et en compléter d'autres).

Groupes finis. Exemples et applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

J'aime bien le point de vue actions de groupes pris par Ulmer.

Ma partie II d'applications est très longue parce qu'elle explore de nombreux sujets. En pratique, il vaut mieux mettre 2 ou 3 paragraphes.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg

Nombres premiers. Applications.

Ma partie d'applications est très longue parce qu'elle explore de nombreux sujets. En pratique, il vaut mieux mettre 2 ou 3 paragraphes.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon présentée en cours d'année

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Groupes finis. Exemples et applications.

Si c'était le jour J j'aurais enlevé les groupes diédraux, et j'aurais allongé la partie sur les représentations de groupes, en mettant la table de S4.

Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.

Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Leçon sur laquelle je suis passé en oral blanc de fin d'année.
La quatrième page correspond à mon brouillon de leçon, que je faisais durant l'année (par manque de temps de tout détailler). Cela vous permettra de comparer… et de comprendre pourquoi je n'ai pas mis tous mes plans sur ce site.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Il y a en fichiers ma version manuscrite; faite en oral blanc en 1h30. Je viens de taper le plan en tex. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

L'idée de mettre en valeur les deux aspects de la leçon (agir pour comprendre le groupe / pour comprendre l'ensemble) ne vient pas de moi, je pense que c'est une bonne idée car c'est suggéré par le rapport du jury

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 103.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 105.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 108.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

J'ai fait cette leçon un peu vite... J'ai oublié le 3e théorème d'isomorphisme qu'il faut mettre évidemment.
Il ne faut pas oublier de parler du sous-groupe dérivé. La théorie de Sylow n'est pas obligatoire (parce que pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
La partie géométrie est appréciée du jury
Il faut savoir donner les classes de conjugaison de S_n.

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Il faut penser à parler des classes de conjugaison, avoir une idée de la démonstration, savoir dire si deux permutations sont conjuguées.
Il faut aussi connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints (comme précisé dans le rapport du jury 2023) ! Et il faut aussi bien sûr savoir faire en pratique
Dans la partie Applications, j'ai choisi de parler des polynômes symétriques, ça peut être remplacé par la théorie de Sylow mais je trouve que ça se justifierait moins bien...
J'ai oublié d'encadrer le DEV 2 mais il s'agit des points 56,57,58 que vous trouverez un peu éparpillés dans le Gourdon et dans un des Francinou Oraux X-ENS...