Développement : Étude du groupe A4

Détails/Enoncé :

Il s'agit ici de montrer, en exploitant le groupe de Klein, que $\mathfrak{A_4}$ n'est pas simple puis qu'il n'admet pas de sous-groupe d'ordre 6. On prouve au passage deux petits résultats généraux de théorie des groupes.

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    J'ai partiellement utilisé l'exemple page 64 du livre mis en référence (seconde édition), mais attention : j'ai réadapté le contenu de l'exemple pour construire mon développement. C'est donc un développement partiellement inventé, cependant il est facile à comprendre et à refaire.
    Les énoncés des deux lemmes sont posés comme exercices dans le livre (cf. exercice 4.6 + exercice 1.12 question 1), de plus le dernier est corrigé par l'auteur en page 167.
    Le dernier résultat témoigne que $\mathfrak{A}_4$ montre que la "réciproque" du théorème de Lagrange est fausse, dans le sens où pour tous entiers positifs $d$ et $n$ tels que $d$ divise $n$, tout groupe d'ordre $n$ n'admet pas nécessairement de sous-groupe d'ordre $d$.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 43 versions au total)