(2022 : 104 - Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.)
La richesse de cette leçon ne doit pas nuire à sa présentation. Le candidat devra sans doute faire des
choix qu'il doit être en mesure de justifier.
La notion d'ordre (d'un groupe, d'un élément et d'un sous-groupe) est très importante dans cette
leçon ; le théorème de Lagrange est incontournable. Les groupes $Z/nZ$ et $\mathfrak{S}_n$ sont des exemples très pertinents. Pour ces groupes, il est indispensable de savoir proposer un générateur ou une famille de
générateurs. Dans $\mathfrak{S}_n$, il faut savoir calculer un produit de deux permutations et savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Le théorème de structure des groupes
abéliens finis doit figurer dans cette leçon. Sa démonstration est techniquement exigeante, mais il faut
que l'énoncé soit bien compris, en particulier le sens précis de la clause d'unicité, et être capable de
l'appliquer dans des cas particuliers. Il est important de connaître les groupes d'ordre premier ainsi
que les groupes d'ordre inférieur à 7.
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. L'étude des groupes d'isométries laissant
fixe un polygone (ou un polyèdre) régulier peut être opportunément exploitée sous cet intitulé. A n
d'illustrer leur présentation, les candidats peuvent aussi s'intéresser à des groupes d'automorphismes
ou à des représentations de groupes, ou étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_4$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre.
Pour aller plus loin, les candidats peuvent s'attarder sur la dualité dans les groupes abéliens finis.
Comme application, la cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini est tout à fait adaptée. Des
exemples de caractères, additifs, ou multiplicatifs dans le cadre des corps finis, sont les bienvenus. Il
est aussi possible de s'intéresser aux sommes de Gauss. S'ils le désirent, les candidats peuvent ensuite
introduire la transformée de Fourier discrète qui pourra être vue comme son analogue analytique,
avec ses formules d'inversion, sa formule de Plancherel. Ainsi, la leçon peut mener à introduire la
transformée de Fourier rapide sur un groupe abélien dont l'ordre est une puissance de 2 ainsi que
des applications à la multiplication d'entiers, de polynômes et éventuellement au décodage de codes
via la transformée de Hadamard.
(2020 : 104 - Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.)
La richesse de cette leçon ne doit pas nuire à sa présentation. Le candidat devra sans doute faire des choix qu’il doit être en mesure de justifier.
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La notion d’ordre (d’un groupe, d’un élément et d’un sous-groupe) est très importante dans cette leçon ; le théorème de Lagrange est incontournable. Les groupes $Z/nZ$ et $\mathfrak{S}_n$ sont des exemples très pertinents. Pour ces groupes, il est indispensable de savoir proposer un générateur ou une famille de générateurs. Dans $\mathfrak{S}_n$, il faut savoir calculer un produit de deux permutations et savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit figurer dans cette leçon. Sa démonstration est techniquement exigeante, mais il faut que l’énoncé soit bien compris, en particulier le sens précis de la clause d’unicité, et être capable de l’appliquer dans des cas particuliers. Il est important de connaître les groupes d’ordre premier ainsi
que les groupes d’ordre inférieur à 7.$$$$
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. L’étude des groupes d’isométries laissant fixe un polygone (ou un polyèdre) régulier pourrait être exploitée sous cet intitulé. Afin d’illustrer leur présentation, les candidats peuvent aussi s’intéresser à des groupes d’automorphismes ou à des représentations de groupes, ou étudier les groupes $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre. $$$$
Pour aller plus loin, les candidats peuvent s’attarder sur la dualité dans les groupes abéliens finis. Comme application, la cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps fini est tout à fait adaptée. Des exemples de caractères, additifs, ou multiplicatifs dans le cadre des corps finis, sont les bienvenus. Il est aussi possible de s’intéresser aux sommes de Gauss. S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite introduire la transformée de Fourier discrète qui pourra être vue comme son analogue analytique, avec ses formules d’inversion, sa formule de Plancherel. Ainsi, la leçon peut mener à introduire la transformée de Fourier rapide sur un groupe abélien cyclique dont l’ordre est une puissance de 2 ainsi que des applications à la multiplication d’entiers, de polynômes et éventuellement au décodage de codes via la transformée de Hadamard.
(2017 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.)
Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ( $Z/nZ$, $\mathfrak{S}$, etc.) comme, par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent
des exemples très naturels. On peut aussi étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux.
S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le
groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ ou les groupes $GL_n(F_q)$.
(2016 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.)
Dans cette leçon il faut savoir manipuler correctement les éléments de différentes structures usuelles ($Z/nZ$, $\mathfrak{S}_n$, etc.) comme par exemple, en proposer un générateur ou une famille de générateurs, savoir calculer un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Il est important que la notion d’ordre d’un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. Les groupes d’automorphismes fournissent des exemples très naturels dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place ; il est utile de connaître les groupes diédraux.
S’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite mettre en avant les spécificités de groupes comme le groupe quaternionique, les sous-groupes finis de $SU(2)$ou les groupes $GL_n(F_q)$.
(2015 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.)
On attend des candidats de savoir manipuler correctement les éléments de quelques structures usuelles ($\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ , $\mathfrak{S}_n$, etc.). Par exemple, proposer un générateur simple de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ voire tous les générateurs, calculer aisément un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints.
Il est important que la notion d'ordre d'un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples.
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathfrak{A}_4$ , $\mathfrak{S}_4$ , $\mathfrak{A}_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place. Il est utile de connaître les groupes diédraux, et pour les candidats aguerris, les spécificités de groupes plus exotiques comme le groupe quaternionique. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
(2014 : 104 - Groupes finis. Exemples et applications.)
Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon. On peut par exemple étudier les groupes de symétries $A_4$ , $S_4$ , $A_5$ et relier sur ces exemples géométrie et algèbre, les représentations ayant ici toute leur place. Le théorème de structure des groupes abéliens finis doit être connu.
On attend des candidats de savoir manipuler correctement les éléments de quelques structures usuelles ($Z/nZ$, $ S_n$, etc.). Par exemple, proposer un générateur simple de $(Z/nZ, +)$ voire tous les générateurs, calculer aisément un produit de deux permutations, savoir décomposer une permutation en produit de cycles à support disjoint.
Il est important que la notion d'ordre d'un élément soit mentionnée et comprise dans des cas simples.
