Développement : Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique

Détails/Enoncé :

$((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,\times)$ est cyclique si et seulement si $n$ est de la forme:
\begin{equation*}
\begin{cases}
n = 1,2,4,\\
n = p^\alpha, \text{ avec } p\geq3\text{ et } \alpha\geq1,\\
n = 2p^\alpha \text{ avec } p\geq3\text{ et } \alpha\geq1.
\end{cases}
\end{equation*}

Recasages pour l'année 2026 :

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  • Remarque :
    Ce développement utilise un lemme qui permet d’alléger considérablement les calculs dans les cas p^2 et p^k par rapport aux preuves classiques. Ce lemme est un classique en olympiades de mathématiques ; il est, par contre, moins connu en agrég (je pense).

    J’ai inclus en annexe une preuve du lemme, ainsi qu’un petit bonus sympa et simple à démontrer :

    « Si (Z/nZ)^× admet un générateur, alors il en admet exactement phi(phi(n)). »

    N’hésitez pas à me contacter par e-mail si vous repérez une erreur ou un point qui mériterait d’être clarifié.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 187 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 813 versions au total)