Leçon 126 : Exemples d’équations en arithmétique.

(2020) 126
(2022) 126

Dernier rapport du Jury :

(2020 : 126 - Exemples d’équations en arithmétique.) Dans cette leçon, il est indispensable de s’intéresser à des équations sur Z mais aussi des équations dans $Z/nZ$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de base servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d’utilisation effective du lemme chinois. $$$$ Ensuite, la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d’être mis en œuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n=2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur Z peut être abordée. Il est de plus naturel de s’intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis. $$$$ S’il le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur Q ou les corps finis.

(2019 : 126 - Exemples d'équations en arithmétique.) Dans cette leçon, il est indispensable de s’intéresser à des équations sur $\textbf{Z}$ mais aussi des équations dans $\textbf{Z}$/n$\textbf{Z}$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d’utilisation effective du lemme chinois. Ensuite, la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d’être mis en œuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et mêmeFermat(pour $n=2$ , ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur $\textbf{Z}$ peut être abordée. Il est de plus naturel de s’intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis. S’il le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur les corps finis et la recherche de points sur ces coniques.
(2017 : 126 - Exemples d'équations diophantiennes.) Dans cette leçon on doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax +by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).
(2016 : 126 - Exemples d'équations diophantiennes.) Dans cette leçon on doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax + by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n=2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).
(2015 : 126 - Exemples d'équations diophantiennes.) Il s'agit d'une leçon nouvelle, ou plus exactement d'une renaissance. On y attend les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier $p$. La leçon peut aussi dériver la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n= 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain.
(2014 : 126 - Exemples d'équations diophantiennes.) Il s'agit d'une leçon nouvelle ou plus exactement d'une renaissance. On attend là les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax + by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, avec le lemme des noyaux. A ce sujet, il est important que le candidat connaisse l'image du morphisme du lemme des noyaux lorsque les nombres ne sont pas premiers entre eux. On attend bien entendu la méthode de descente et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier $p$. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).

Plans/remarques :

2020 : Leçon 126 - Exemples d’équations en arithmétique.


2019 : Leçon 126 - Exemples d'équations en arithmétique.


2018 : Leçon 126 - Exemples d’équations diophantiennes.


2017 : Leçon 126 - Exemples d'équations diophantiennes.


2016 : Leçon 126 - Exemples d'équations diophantiennes.


2015 : Leçon 126 - Exemples d'équations diophantiennes.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Arithmétique, François Liret (utilisée dans 2 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 217 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 47 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 299 versions au total)
Cours d'arithmétique , Serre (utilisée dans 12 versions au total)
Théorie algébrique des nombres, Pierre Samuel (utilisée dans 4 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 118 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 29 versions au total)
Algèbre et géométrie , Combes (utilisée dans 28 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 246 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 285 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)
Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix (utilisée dans 6 versions au total)
Elements d'analyse et d'algèbre , Colmez (utilisée dans 17 versions au total)
Théorie des nombres, Daniel Duverney (utilisée dans 3 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 93 versions au total)