Cours d'algèbre

Perrin

Utilisée dans les 36 développements suivants :

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Simplicité du groupe alterné An
Classification des formes quadratiques sur Fq
SO₃(R) et les quaternions
Générateurs de O(E)
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
Théorème de Sylow (version opération de groupes)
Théorème de Wedderburn
Le groupe SO3(R) est simple
Automorphismes de Sn
Théorème de Dirichlet faible
Espaces hyperboliques
Construction des corps finis
Groupes d'ordre pq
Automorphismes de Z/nZ
Un anneau principal non euclidien
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
Critère d'Eisenstein
Isomorphismes de groupes projectifs linéaires
Automorphismes de Z/p^aZ
Générateurs de SL(E) et GL(E)
Théorème de la base télescopique et extension algébrique
Isomorphisme entre PGL(2,F5) et S5
Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
Simplicité de A5
Étude des polynômes cyclotomiques (+ corollaire sur les corps finis).
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q
Générateurs de O(E) et SO(E)
Corps des nombres algébriques
Théorèmes de Sylow (Version de Wielandt)
Étude des polynômes cyclotomiques (coefficients entiers, unitaire et irréductible sur Z)
Critère d'Eisenstein + Contre-exemple au théorème de l'élément primitif
Réductibilité des polynômes cyclotomiques
L'anneau Z[1+i sqrt(19) sur 2]

Utilisée dans les 30 leçons suivantes :

120 (2024) Anneaux Z/nZ. Applications.
122 (2024) Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 (2024) Corps finis. Applications.
125 (2024) Extensions de corps. Exemples et applications.
141 (2024) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
148 (2024) Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
159 (2024) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
158 (2024) Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
101 (2024) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
103 (2024) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
121 (2024) Nombres premiers. Applications.
142 (2024) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
105 (2024) Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
104 (2024) Groupes finis. Exemples et applications.
108 (2024) Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
190 (2024) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
191 (2024) Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
106 (2024) Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
144 (2024) Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
149 (2024) Déterminant. Exemples et applications.
151 (2024) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
157 (2024) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
161 (2024) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
162 (2024) Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
170 (2024) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
171 (2024) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
102 (2024) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
127 (2024) Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Utilisée dans les 107 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 103, 104, 105 et 108.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 102, 120, 121 et 141.

    Je conseille de ne pas tenir compte de la définition des polynômes cyclotomiques que je donne (celle du Perrin), mais les définir directement sur C.
    Et il y a une coquille au tout début, le corps de décomposition sur Q de $X^n - 1$ n'est pas C...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Dans cette version on montre l'existence et unicité d'un corps fini $\mathbb{F}_q$ à $q$ élément avec $q = p^n$ puis on montre que les sous corps de $\mathbb{F}_{p^n}$ sont exactement (à isomorphisme près) les $\mathbb{F}_{p^d}$ avec $d \mid n$.
    Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
  • Références :
  • Développement :
  • Remarque :

    /!\ Attention /!\


    Coquille non négligeable dans la version d'Aurélie Bigot ! (Désolé Aurélie, je n'ai rien contre vous, vous l'avez pourtant bien écrit dans votre leçon !)

    • - Le théorème est faux: sachant que tout élément de $K$ est algébrique sur $K$, on a $K \subseteq A$, donc si $K$ n'est pas dénombrable, $A$ ne pourra jamais l'être. (L'erreur vient, dans la démonstration de (ii), du fait que $A = \bigcup\limits_{k \geq 0} \bigcup\limits_{n \geq 1} \bigcup\limits_{P \in E_{k,n}} Z(P)$, et qu'en n'écrivant pas cette troisième union, on oublie le fait que $E_{k,n}$ n'est pas dénombrable si $K$ ne l'est pas.)

    • - Bien évidemment, il ne faut pas oublier la condition $P \neq 0$ dans la définition de $A$



    C'est bien trop court pour faire un développement: en prenant vraiment son temps, on ne peut pas tenir plus de 10 min. Je recommande d'ajouter ceci à la double caractérisation de l'algébricité (avec $K[\alpha]$ et $K(\alpha)$).

    Côté recasages, mettre ce développement en dehors de la 125 me paraît quelque peu abusif.

    On trouvera cet exercice p94 de la 3e version du Gourdon algèbre, et ma suggestion d'ajout se trouvera en p66 du Perrin
  • Références :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 106, 108, 151, 160, 161, 170 (et éventuellement 171 mais bof)

    Perrin p143

    J'ai modifié la rédaction du Perrin de manière à rendre la preuve plus facile à retenir: en effet, Perrin adopte la structure (classique) "argument donc... donc... donc résultat (et on répète)", j'ai adopté la structure "pour avoir résultat, il suffit d'avoir ça, et pour ça il suffit d'avoir ça, donc montrons ça", qui somme toute est la même preuve que Perrin avec chaque bloc d'arguments écrit à l'envers. J'ai également détaillé tous les arguments.

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 121, 126

    Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la factorialité des anneaux en jeu, pas leur principalité. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la principalité d'un anneau, mais c'est déjà mieux.

    Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible.

    Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269)

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 122,126,121,123

    J'ai pas l'impression que ça se fait beaucoup, mais ce dev rentre dans la 123 (je suis pas passée dessus mais je l'avais proposé en dev le jour de l'oral, c'est un dev que le jury connaît bien, et j'ai pas eu de soucis) : c'est une application de l'étude des carrés dans Fq*

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 154,160,161,206

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/4b8bfe4d-96e7-44d1-baed-c29b85a0356d/Generateurs_de_O(E).pdf?id=e9c28d2b-9f7b-4bc5-8558-0c93d398b3c7&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=6oTQDW2H_Ff-NRcj0c8W6kfJYcGfPKeHHucw9zX8WA4&downloadName=Générateurs+de+O%28E%29.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Attention : dans l'énoncé du théorème 3, p doit être supérieur ou égal à 3 (je ne le précise pas ; je le modifierai prochainement).

    Il est possible que je change de référence aussi, parce que je n'aime pas trop la façon dont la preuve est présentée dans le Perrin...

    Je donne aussi un peu plus de détails, mais peut-être que le lemme 2 ne serait pas à prouver à l'oral (sauf demande du jury a posteriori).

    Attention aux coquilles.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le Perrin dit que "c'est facile le dénombrement du centralisateur" il ment ! Il faut bien le détailler si on veut pas se perdre ! Sinon, si vous savez comment on construit un automorphisme de $\mathfrak{S}_6$ qui ne soit pas intérieur, vous aurez tout gagné pour ce développement !
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le Perrin est vraiment elliptique sur les parties combinatoires que j'ai donc détaillé, mais les preuves sont de mon cru et elles ne sont sans doute pas minimales. Il y a aussi quelques coquilles dans le Perrin que j'ai corrigé mais d'autres ont pu s'y glisser.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pas de commentaire spécial sur ce développement, je l'ai trouvé un peu abrupt au début mais en fait ça va quand on le travaille un peu. Je trouve qu'il se retient très bien par contre !

    Je prends ce développement pour les leçons 103, 104, 105 et 108.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 29.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pas le développement le plus fun mais il est là. Je ne voulais pas prendre l'argument des produits semi-directs du Perrin alors j'ai repris la version de Méthivier du développement (pas mots pour mots, mais on en est pas loin). J'ai délibérément sauté la preuve du lemme 2 parce que c'est beaucoup trop long sinon.

    Je prends ce développement pour les leçons 104, 108 et 120.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 25.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Si on veut faire Sylow, il est important de savoir l'appliquer. Faire les exercices du Perrin, la plupart corrigé chez Ortiz ou Francinou-Gianella me parait indispensable.

    Je fais les trois théorèmes comme Perrin. Il faut être au clair sur les actions de groupes si on veut aller vite.

    Leçons 101, 103, 104, 190.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 192 versions de leçons suivantes :