Cours d'algèbre

Perrin

Utilisée dans les 47 développements suivants :

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Simplicité du groupe alterné An
Classification des formes quadratiques sur Fq
SO₃(R) et les quaternions
Générateurs de O(E)
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
Théorème de Sylow (version opération de groupes)
Théorème de Wedderburn
Le groupe SO3(R) est simple
Automorphismes de Sn
Théorème de Dirichlet faible
Espaces hyperboliques
Construction des corps finis
Groupes d'ordre pq
Automorphismes de Z/nZ
Un anneau principal non euclidien
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
Critère d'Eisenstein
Théorème de Wantzel
Isomorphismes de groupes projectifs linéaires
Automorphismes de Z/p^aZ
Générateurs de SL(E) et GL(E)
Théorème de la base télescopique et extension algébrique
Isomorphisme entre PGL(2,F5) et S5
Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
Simplicité de A5
(Z/p^aZ)* est cyclique
Étude des polynômes cyclotomiques (+ corollaire sur les corps finis).
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q
Générateurs de O(E) et SO(E)
Corps des nombres algébriques
Réduction des formes quadratiques et théorème de Sylvester
Théorèmes de Sylow (Version de Wielandt)
Étude des polynômes cyclotomiques (coefficients entiers, unitaire et irréductible sur Z)
Critère d'Eisenstein + Contre-exemple au théorème de l'élément primitif
Réductibilité des polynômes cyclotomiques
L'anneau Z[1+i sqrt(19) sur 2]
Matrices à coefficients dans Z/nZ
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]
Le théorème des deux carrés
Théorème de Cartan-Dieudonné (générateurs de O(q) et SO(q))
Tests de primalité
Etude de l'anneau Z[i]
Intersection de deux corps cyclotomiques
Transfert de factorialité de Gauss

Utilisée dans les 30 leçons suivantes :

120 (2025) Anneaux Z/nZ. Applications.
122 (2025) Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 (2025) Corps finis. Applications.
125 (2025) Extensions de corps. Exemples et applications
141 (2025) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
158 (2025) Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
101 (2025) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
103 (2025) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
121 (2025) Nombres premiers. Applications.
142 (2025) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
104 (2025) Groupes finis. Exemples et applications.
108 (2025) Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
106 (2025) Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
144 (2025) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
151 (2025) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
162 (2025) Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
170 (2025) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
127 (2025) Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.

Utilisée dans les 166 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 103, 104, 105 et 108.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 102, 120, 121 et 141.

    Je conseille de ne pas tenir compte de la définition des polynômes cyclotomiques que je donne (celle du Perrin), mais les définir directement sur C.
    Et il y a une coquille au tout début, le corps de décomposition sur Q de $X^n - 1$ n'est pas C...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Dans cette version on montre l'existence et unicité d'un corps fini $\mathbb{F}_q$ à $q$ élément avec $q = p^n$ puis on montre que les sous corps de $\mathbb{F}_{p^n}$ sont exactement (à isomorphisme près) les $\mathbb{F}_{p^d}$ avec $d \mid n$.
    Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
  • Références :
  • Développement :
  • Remarque :

    /!\ Attention /!\


    Coquille non négligeable dans la version d'Aurélie Bigot ! (Désolé Aurélie, je n'ai rien contre vous, vous l'avez pourtant bien écrit dans votre leçon !)

    • - Le théorème est faux: sachant que tout élément de $K$ est algébrique sur $K$, on a $K \subseteq A$, donc si $K$ n'est pas dénombrable, $A$ ne pourra jamais l'être. (L'erreur vient, dans la démonstration de (ii), du fait que $A = \bigcup\limits_{k \geq 0} \bigcup\limits_{n \geq 1} \bigcup\limits_{P \in E_{k,n}} Z(P)$, et qu'en n'écrivant pas cette troisième union, on oublie le fait que $E_{k,n}$ n'est pas dénombrable si $K$ ne l'est pas.)

    • - Bien évidemment, il ne faut pas oublier la condition $P \neq 0$ dans la définition de $A$



    C'est bien trop court pour faire un développement: en prenant vraiment son temps, on ne peut pas tenir plus de 10 min. Je recommande d'ajouter ceci à la double caractérisation de l'algébricité (avec $K[\alpha]$ et $K(\alpha)$).

    Côté recasages, mettre ce développement en dehors de la 125 me paraît quelque peu abusif.

    On trouvera cet exercice p94 de la 3e version du Gourdon algèbre, et ma suggestion d'ajout se trouvera en p66 du Perrin

    Mon site: https://esuong-maths.fr
  • Références :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 106, 108, 151, 160, 161, 170 (et éventuellement 171 mais bof)

    Perrin p143

    J'ai modifié la rédaction du Perrin de manière à rendre la preuve plus facile à retenir: en effet, Perrin adopte la structure (classique) "argument donc... donc... donc résultat (et on répète)", j'ai adopté la structure "pour avoir résultat, il suffit d'avoir ça, et pour ça il suffit d'avoir ça, donc montrons ça", qui somme toute est la même preuve que Perrin avec chaque bloc d'arguments écrit à l'envers. J'ai également détaillé tous les arguments.

    Mon site: https://esuong-maths.fr
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 121, 126

    Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la factorialité des anneaux en jeu, pas leur principalité. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la principalité d'un anneau, mais c'est déjà mieux.

    Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible.

    Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269)

    Mon site: https://esuong-maths.fr
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  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 122,126,121,123

    J'ai pas l'impression que ça se fait beaucoup, mais ce dev rentre dans la 123 (je suis pas passée dessus mais je l'avais proposé en dev le jour de l'oral, c'est un dev que le jury connaît bien, et j'ai pas eu de soucis) : c'est une application de l'étude des carrés dans Fq*

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 154,160,161,206

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/4b8bfe4d-96e7-44d1-baed-c29b85a0356d/Generateurs_de_O(E).pdf?id=e9c28d2b-9f7b-4bc5-8558-0c93d398b3c7&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=6oTQDW2H_Ff-NRcj0c8W6kfJYcGfPKeHHucw9zX8WA4&downloadName=Générateurs+de+O%28E%29.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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  • Développement :
  • Remarque :
    Attention : dans l'énoncé du théorème 3, p doit être supérieur ou égal à 3 (je ne le précise pas ; je le modifierai prochainement).

    Il est possible que je change de référence aussi, parce que je n'aime pas trop la façon dont la preuve est présentée dans le Perrin...

    Je donne aussi un peu plus de détails, mais peut-être que le lemme 2 ne serait pas à prouver à l'oral (sauf demande du jury a posteriori).

    Attention aux coquilles.
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Le Perrin dit que "c'est facile le dénombrement du centralisateur" il ment ! Il faut bien le détailler si on veut pas se perdre ! Sinon, si vous savez comment on construit un automorphisme de $\mathfrak{S}_6$ qui ne soit pas intérieur, vous aurez tout gagné pour ce développement !
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Le Perrin est vraiment elliptique sur les parties combinatoires que j'ai donc détaillé, mais les preuves sont de mon cru et elles ne sont sans doute pas minimales. Il y a aussi quelques coquilles dans le Perrin que j'ai corrigé mais d'autres ont pu s'y glisser.
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Pas de commentaire spécial sur ce développement, je l'ai trouvé un peu abrupt au début mais en fait ça va quand on le travaille un peu. Je trouve qu'il se retient très bien par contre !

    Je prends ce développement pour les leçons 103, 104, 105 et 108.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 29.
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Pas le développement le plus fun mais il est là. Je ne voulais pas prendre l'argument des produits semi-directs du Perrin alors j'ai repris la version de Méthivier du développement (pas mots pour mots, mais on en est pas loin). J'ai délibérément sauté la preuve du lemme 2 parce que c'est beaucoup trop long sinon.

    Je prends ce développement pour les leçons 104, 108 et 120.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 25.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Si on veut faire Sylow, il est important de savoir l'appliquer. Faire les exercices du Perrin, la plupart corrigé chez Ortiz ou Francinou-Gianella me parait indispensable.

    Je fais les trois théorèmes comme Perrin. Il faut être au clair sur les actions de groupes si on veut aller vite.

    Leçons 101, 103, 104, 190.
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

    Recasages : 125 - 127 - 144 - 148
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Je démontre le lemme de Gauss d'abord (dans le Perrin), puis le lemme sur les polynômes ensuite (Gozard) et enfin le théorème (Gozard). A force de m'entraîner, j'arrivais à faire les 3 en 15 minutes mais il faut être rapide et ne pas hésiter. On peut ne pas faire le lemme de Gauss, je le faisais seulement pour que ça rentre dans la 142...
    Comme le dit Tintin, pour mettre ça dans la 125, il faut remplacer le lemme de Gauss par un dernier lemme qu'on démontre après donnant le fait que toute racine primitive de l'unité est algébrique et donnant le degré de l'extension.
    Il faut comprendre pourquoi démontrer que si $u$ est racine de $f$ alors pour tout $p$ premier ne divisant pas $n$, $u^p$ est aussi racine de $f$ implique que toutes les racines primitives de l'unité sont racines de $f$. J'avais mis le détail en haut de la 2e page mais ce n'est pas passé au scan...
    Désolé, la 2e page est un peu coupée, mais tout est dans les références.
  • Références :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement se recase très bien dans la 127. Au début de l'année, je ne connaissais pas du tout le problème des deux carrés donc il m'a fallu travailler tout ce qu'il y a dans le Perrin.
    Pour le développement, il faut évidemment faire des choix : pour la 122, je suggère les pages 1 et 2
    pour la 127, les pages 2 et 3.
    Le Perrin ne fait pas très bien la démonstration du dernier théorème, j'ai essayé de la remanier... J'espère qu'elle est correcte. A chaque fois, les remarques en noir étaient pour moi, pour travailler le développement. Notamment tous les isomorphismes de l'avant-dernier théorème doivent être justifiés, c'est principalement le 3e théorème d'isomorphisme. Certaines parties sont un peu coupées, désolé... La version de Tintin est bien meilleure !
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    /!\ J'ai un peu merdé sur la rédaction de ce développement (et je n'avais pas le temps de le réécrire à ce moment-là), j'ai rayé le premier théorème que je croyais utile pour le développement (et donc que je pouvais le recaser dans la 159) mais en fait il est complètement hors-sujet (comme quoi il faut toujours lire entièrement un développement avant de le recopier...)

    La démonstration vient du Perrin qui expédie souvent les rédactions... J'ai donc essayé de rédiger la récurrence correctement moi-même mais j'ai galéré au vu des ratures... Gardez un regard critique !
    En 15 minutes, en expliquant bien, j'arrivais à démontrer le théorème sur $O(q)$, la première étoile et le théorème sur $SO(q)$. Je gardais la deuxième étoile pour d'éventuelles questions. Je pense qu'en se dépêchant un peu plus, on peut intégrer la deuxième étoile au développement. A ce propos, étoile 1 et étoile 2 ne sont pas détaillées dans le livre, j'ai trouvé leur démonstration sur ce site.

    Pour faire ce développement, il faut s'assurer d'être bien au point sur les différentes isométries, notamment les renversements (dont je ne connaissais pas la nature avant la prépa agreg...) Par exemple, dans le dernier théorème, j'ai mis un point d'interrogation à un endroit car je ne comprenais pas, j'avais ensuite réglé le problème et je pense qu'il faut savoir bien justifier pourquoi c'est vrai (indice : matrice !)
    Il faut faire attention en géométrie car souvent un même objet peut porter plusieurs noms différents suivant les ouvrages... Je pense qu'il faut connaître par coeur la classification des isométries en dimension 2 et 3.

    Enfin, si on n'a pas envie de s'embêter avec une forme quadratique (de toute façon, le recasage dans 170 ou 171 est TRES limite), on peut simplement se placer dans $E$ un espace euclidien.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ai une version un peu différente de ce qui est donné dans l'énoncé :
    1. Construction des corps finis avec le corps de décomposition
    2. Montrer qu'un sous groupe fini de K* est cyclique
    3. En déduire l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur Fp pour tout n, p; et donc une 2e construction avec le corps de rupture cette fois ci
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    La première partie du développement est très classique et constitue la preuve du théorème des deux carrés dans le cas premier. Pour cette preuve, chacun fait ses choix de ce qu'il démontre ou pas; j'ai fait mes choix, je ne prétends pas que ce soit les meilleurs. De toute façon, pour présenter ce développement, il faut tout savoir démontrer... Ceci dit, je trouve que dans beaucoup de développements, l'isomorphisme entre les deux anneaux quotients n'est jamais démontré. Certes c'est pénible à faire, mais c'est quand même pas évident, j'ai préféré ne pas passer sous silence ce point.
    Dans la seconde partie, on caractérise les irréductibles de Z[i]. C'est un peu moins traditionnel, mais c'est plutôt sympa, et renforce à mon goût le recasage dans la leçon sur les anneaux principaux: une partie dans la leçon sur cet anneau est très naturelle, le théorème des deux carrés devient un lemme qui sert à l'étude de l'anneau.
    Développement pas spécialement court, maîtrisez le bien! Côté recasage à mon avis:
    Anneaux principaux
    Nombres premiers
    Exemples de nombres et d'anneaux de nombres remarquables

    Pour les références, Perrin pour le théorème des deux carrés et Ramis-Warusfel Tout en un pour la licence 3 pour les irréductibles de Z[i]. Perrin présente aussi une preuve de ce second point, mais je préfère la version du Ramis Warusfel.
    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement très classique, mais j'ai décidé de la faire de façon un peu moins conventionnelle. Je l'ai séparé en trois parties: preuve que l'ensemble des nombres algébriques sur un corps est un corps, puis montrer que ce corps est algébriquement clos si le corps de départ l'est, et enfin construction d'un polynôme annulateur pour la somme de deux nombres algébriques. Cette troisième partie nécessite la notion de résultant, très intéressante, très riche, mais hors programme. Si vous ne voulez pas vous y frotter, ne prenez pas cette version du développement.
    L'idée est de montrer que la preuve par les extensions de corps est très efficace, mais non constructive, et de présenter un outil pour faire une preuve constructive. En effet, une fois que l'on a la stabilité par la somme, la stabilité par produit se fait de façon semblable. La stabilité par l'inverse se fait rapidement, sans avoir besoin de théories exotiques. Le Rombaldi explique bien la partie sur le résultant, dans son chapitre "Résultant". Attention cependant: il le fait dans le cas des entiers algébriques, qui nécessitent d'avoir un polynôme annulateur unitaire. Ici, ce n'est pas le cas, donc la preuve est encore plus simple! Il faut quand même s'y pencher un peu pour voir ce qui peut être enlevé.

    Côté recasages à mon avis:
    Extensions de corps
    Exemples de nombres et d'anneaux de nombres remarquables
    Racines d'un polynôme
    Déterminant (dans cette leçon, il faudra donc prévoir une partie sur le résultant. Dans le développement, je ne montrais pas la partie sur les corps algébriquement clos, mais faisais aussi l'explication pour trouver un polynôme annulateur du produit de deux nombres algébriques)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un très joli développement, je l'ai beaucoup apprécié! Il n'est pas spécialement compliqué, les petites étapes s'enchaînent plutôt bien, et on peut prendre son temps pour bien expliquer l'idée de la démonstration qui est somme toute assez simple. Le Perrin le fait plutôt bien, mais montre le cas k=1 dans la récurrence, que l'on n'utilise pas dans la récurrence, ce qui semble peu optimal.
    On utilise un peu la fonction indicatrice d'Euler, préparez vous sur des questions dessus je pense.
    Ce développement fait écho à un autre, qui donne tous les groupes de type (Z/nZ)* qui sont cycliques. Bien qu'intéressant, ce développement était trop long pour moi, c'est pourquoi j'ai préféré ne montrer que le fait que les (Z/p^aZ)* sont cycliques. En fait les autres s'en déduisent, mais ça peut être intéressant de s'y pencher dessus pour enrichir l'étude, d'autant plus que l'on a fait le plus dur en présentant ce développement. On peut imaginer même mettre la caractérisation des (Z/nZ)* cycliques en corollaire de ce développement dans le plan de la leçon (bon, appeler ça "corollaire", c'est peut-être un peu gonflé, mais vous comprenez l'idée^^)

    Côté recasage à mon avis:
    Exemple de parties génératrices d'un groupe
    Anneaux Z/nZ
    Nombres premiers

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un très joli développement, qui mêle plein de sujets différents : formes quadratiques, corps finis et dénombrement. Il n'est pas spécialement difficile, et fait revoir le dénombrement des carrés de Fq. Le développement passe très bien dans le temps imparti, en expliquant bien les choses. La récurrence n'est pas trop pénible. Je pense qu'il est préférable de passer du temps sur l'initialisation dans le cas n = 2, et l'hérédite ne sera alors qu'une généralisation pratiquement directe. Je recommande ce développement ! Côté recasages à mon avis:

    Corps finis
    Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
    Problèmes de dénombrement (nombre de carrés dans Fq + principe des tiroirs pour la preuve du lemme)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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    Un joli développement, et qui présente l'avantage d'être très adaptable : il peut être présenté sous plusieurs versions selon les leçons dans lesquelles il est présenté, et votre rapidité en mettant plus ou moins d'exemples. Mon conseil quand même : prenez votre temps, il y a plein de petites choses intéressantes à expliquer, ça vaut mieux à mon avis que de présenter x exemples... J'avais décidé de ne montrer que le critère, sans application a priori, mais des applications doivent être gardées sous le coude ; si on va trop vite, je pense que ça peut sauver : montrer que l'on peur trouver des polynômes irréductibles dans Q de tout degré (ultra rapide avec $X^n-2) ou alors des histoires de cyclotomie...
    J'ai décidé de le présenter dans le cas général des anneaux factoriels, ce qui amène une petite subtilité théorique, mais que le Perrin explicite convenablement. Evidemment, si on le présente dans la leçon Z/nZ (ce qui peut se justifier je pense) il est fort maladroit de le montrer dans un anneau factoriel général... A l'inverse, présenter la version dans Z pour la leçon sur les anneaux principaux est un peu frustrant. Il faut savoir adapter sa version.
    Pour les recasages à mon avis:

    Anneaux Z/nZ (mais on peut quand même trouver mieux dans cette leçon je pense)
    Anneaux principaux (c'est toujours un débat, après tout le caractère principal de l'anneau n'est pas utilisé...)
    PGCD/PPCM (la notion de contenu est la notion clef du développement, et c'est un PGCD, donc ça me semble pertinent, et franchement mieux que le théorème des restes chinois pour ne citer qu'un exemple.....)
    Polynômes irréductibles à une indéterminée
    Nombres premiers
    Par contre, extensions de corps, je ne vois pas le rapport...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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  • Remarque :
    Le recasage est le suivant :
    ***** 125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
    ***** 127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
    ***** 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et
    applications.
    ***** 148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie).
    Rang. Exemples et applications.
    **** 102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
    *** 142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

    Le dernier est assez discutable, mais comme ça utilise beaucoup les propriétés de PGCD et PPCM, donc c'est tolérable.
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  • Remarque :
    Le recasage est le suivant :
    ***** 103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de
    groupes quotients. Applications.
    ***** 108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
    **** 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de
    GL(E). Applications.
    *** 158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension
    finie).
    *** 161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
    *** 204 : Connexité. Exemples d’applications.
    *** 191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

    Le document peut paraître long, mais me semble très détaillé. Il comporte le développement (tiré de Caldero), et une annexe (essentiellement du Perrin) de résultats nécessaires à la bonne conclusion du développement. C'est essentiellement du Perrin.
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  • Remarque :
    - Lemme de Gauss sur le contenu d'un produit de polynômes ;
    - Description des irréductibles de $A[X]$ en fonction de ceux de $A$ et de ceux de $\mathrm{Frac}(A)[X]$ ;
    - Transfert de factorialité de $A$ à $A[X]$ ;
    - Compléments : autre preuve du lemme de Gauss plus efficace et plus conceptuelle / discussions autour des anneaux de polynômes en plusieurs variables, voire en un nombre infini dénombrable de variables pour construire des exemples classiques d'anneaux factoriels non principaux, ou factoriels non noethériens.

    Leçons concernées : 122, 141, 142
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  • Développement :
  • Remarque :
    Développement à la fois trop technique et trop long pour mon niveau. J’ai finalement renoncé à le présenter pour ces raisons. Bien qu’il puisse être exposé dans de nombreuses leçons, les autres développements que je propose pour ces leçons sont, à mon avis, bien plus accessibles.
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  • Remarque :
    Fait aussi un très bon recasage dans la leçon nombres premiers, si l'on souhaite faire une partie sur les groupes.

    Pour la preuve que le nombres de p-sylow est congru à 1 modulo p, je me suis écarté de la preuve du Perrin, en passant plutôt par les normalisateurs et en utilisant de manière élégante que deux p-sylow du normalisateur sont congugués entre eux, puisqu'on montre juste avant que les p-sylow sont conjugués entre eux.

    En oral blanc, on m'a demandé de déterminer tous les p-sylow de GL_n(Fp)... préparez vous à cette question. Il est essentiel de connaître la preuve de Cayley, ainsi que les groupes de permutations plongent dans GL_n(K).
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  • Remarque :
    - Calcul des automorphismes de $\mathfrak{S}_n$ pour $n \neq 6$ par la deuxième méthode proposée dans le Perrin : on utilise les actions de certains centralisateurs ;
    - Complément sur le cas $n=6$ (on détaille les arguments donnés dans le Perrin).

    Leçons concernées : 101, 103, 104, 105, 108
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  • Développement :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup ce développement et sa référence, le Perrin. J'ai détaillé un peu plus l'étape 4 car je trouve qu'il va un peu vite sur le système de représentants, et on a vite fait de mal indexer la somme lors d'un oral.
    N'hésitez pas à me contacter si vous voyez une coquille !
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Utilisée dans les 344 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Je suis passé sur cette leçon le jour J ! Voir mon témoignage plus bas.

    Pour cette leçon, je déconseille de s'aventurer en théorie de Galois parce que ça demande un gros investissement juste pour cette leçon là...
    Par contre, la constructibilité c'est cool, c'est joli, c'est pas très difficile... et on peut en parler dans plusieurs leçons !
    Comme je le dis dans mon témoignage, je pense que le jury considère cette leçon comme difficile et donc que maîtriser la base suffit.

    Le jour J, je n'ai pas fait la même partie I-1), j'ai à la place défini rapidement ce qu'était un corps et j'ai parlé de la caractéristique.
    Il faut bien justifier le DEV 2 par le fait que les polynômes irréductibles servent à construire des extensions de corps finis !
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon est un vrai plaisir car tout (ou presque) est dans le Grifone !
    Elle était dans mon tirage le jour J mais je ne l'ai pas prise, préférant la 125. J'ai en effet eu peur du fait que comme c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attende un niveau de fou dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démos (au moins les idées) de la base extraite, de la base incomplète, du fait que toutes les bases ont même cardinal... De même, il faut savoir justifier qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie (c'est facile mais avec le stress le jour J on peut oublier l'argument...)
    Concernant les développements, j'ai mis le théorème des extrema liés (+ un lemme d'algèbre linéaire sur la dualité que j'ai oublié d'écrire ici) car cela utilise à de multiples reprises la dimension finie et car c'était un développement que j'avais beaucoup travaillé donc je pouvais le réinvestir le plus possible. Evidemment, on peut trouver des choses plus simples à proposer... Le DEV 2 se justifie par le fait qu'on fait une récurrence sur la dimension. C'est en effet une application très pratique de la dimension finie, on a quelques théorèmes fondamentaux qui se démontrent comme ça (le théorème spectral par exemple...)
  • Références :
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  • Leçon :
  • Remarque :
    J'ai fait une première partie sur le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ car il y a vraiment des propriétés importantes, après je ne sais pas si cela est considéré comme hors-sujet étant donné que le titre de la leçon invite à se concentrer sur la notion d'anneau.
    Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais enlevé la partie sur les systèmes de congruences (en laissant tout de même un exemple pour illustrer le théorème chinois) car je n'étais pas à l'aise dessus.
    Je pense que l'on peut justifier de faire un développement sur l'irréductibilité de polynômes (Eisenstein ou polynômes cyclotomiques par exemple) car on se place à de nombreuses reprises dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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  • Remarque :
    Plan pas très compliqué, j'utilise juste le Perrin et le Gozard, d'autant plus que certaines parties se retrouvent dans d'autres leçons.
    Avant de faire cette leçon, je ne connaissais aucun résultat sur les carrés dans $\mathbb{F}_q$. Franchement c'est un bon investissement car cela remplit la leçon et les preuves sont simples.
    Ma partie sur l'irréductibilité de polynômes est peut être un peu longue, mais bon pour chaque critère on se place à un moment dans $\mathbb{F}_p$ donc c'est justifié.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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  • Remarque :
    Une de mes leçons préférées. Il suffit de suivre le Perrin, sauf pour la partie sur la clotûre algébrique qui je trouve est mieux faite dans le Gozard.
    Si vous passez dessus, ayez le réflexe de faire des tours d'extensions, cela permet de mieux visualiser les extensions. Et les schémas sont toujours appréciés par le jury.
    Si l'on fait le développement sur l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans cette leçon, il faut insister sur le corollaire qui permet de connaitre le degré d'une extension cyclotomique.

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    Plan ultra classique, il y a vraiment zéro prise de risques.
    Je pense que pendant la présentation de 6 minutes, il faut insister sur l'utilité des corps de rupture et de décomposition, cela permet de faire "vivre" la leçon.
    Si j'étais passé dessus le jour J, j'aurais enlevé la sous-partie sur la clotûre algébrique par manque de place (je préférais me concentrer sur les corps finis car leur construction utilise les corps de rupture et de décomposition, on peut d'ailleurs le présenter comme développement).

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
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  • Remarque :
    Je suis tombé sur cette leçon le jour J, j'ai fait exactement le même plan (voir mon retour d'oral, j'ai eu 16.75).
    Je trouve cette leçon agréable à faire car mis à part la première partie, on peut vraiment mettre ce que l'on veut dedans. J'étais content de parler à la fois d'extensions de corps et d'algèbre linéaire.
    Pour chaque notion abordée dans le plan, il est important d'expliquer comment on la relie au titre de la leçon (par exemple, les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique et permettent d'obtenir des informations sur la diagonalisation ou trigonalisation).
    Je pense que si l'on fait une partie sur les corps de rupture et de décomposition, ça sera valorisé d'expliquer leur utilité pendant la présentation de 6 minutes.
    J'ai décidé de ne parler que des polynômes symétriques élémentaires et pas des polynômes symétriques (une professseure m'avait dit que ce n'était pas pénalisant), en revanche il faut s'attendre pendant la phase de questions à devoir donner l'expression d'un polynôme symétrique en fonction des élémentaires. Pour le développement sur le théorème de Kronecker, je n'utilise donc pas le théorème de structure des polynômes symétriques (j'utilise les matrices compagnons) mais ça n'a pas l'air de poser problème.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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