Leçon 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

(2022) 159
(2024) 159

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon ; celle-ci permet de mettre en évidence des correspondances entre un morphisme et son morphisme transposé, entre un sous-espace et son orthogonal (canonique), entre les noyaux et les images ou entre les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d'algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Le passage d'une base à sa base duale ou antéduale, ainsi que les formules de changement de base, doivent être maîtrisés. On pourra s'intéresser aux cas spécifiques où l'isomorphisme entre l'espace et son dual est canonique (cas euclidien, cas des matrices). Savoir calculer la dimension d'une intersection d'hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L'utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet d'obtenir les équations d'un sous-espace vectoriel ou d'exhiber une base d'une intersection d'hyperplans. Le lien avec la résolution des systèmes linéaires doit être fait. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique ou analytique. Il faut que les développements proposés soient en lien direct avec la leçon. Enn rappeler que la différentielle d'une fonction à valeurs réelles est une forme linéaire semble incontournable. Pour des candidates et candidats ayant une pratique de ces notions, il est possible d'illustrer la leçon avec un point de vue probabiliste, en rappelant que la loi d'un vecteur aléatoire $X$ est déterminée par les lois unidimensionnelles de $X \dot u$ pour tout vecteur u.

(2022 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon ; celle-ci permet de mettre en évidence des correspondances entre un morphisme et son morphisme transposé, entre un sous-espace et son orthogonal (canonique), entre les noyaux et les images ou entre les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d'algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Le passage d'une base à sa base duale ou antéduale, ainsi que les formules de changement de base, doivent être maîtrisés. On pourra s'intéresser aux cas spécifiques où l'isomorphisme entre l'espace et son dual est canonique (cas euclidien, cas des matrices). Savoir calculer la dimension d'une intersection d'hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L'utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d'obtenir les équations d'un sous-espace vectoriel ou d'exhiber une base d'une intersection d'hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique ou analytique. Il faut que les développements proposés soient en lien direct avec la leçon. Enfin rappeler que la différentielle d'une fonction à valeurs réelles est une forme linéaire semble incontournable. Il est possible d'illustrer la leçon avec un point de vue probabiliste, en rappelant que la loi d'un vecteur aléatoire X est déterminée par les lois unidimensionnelles de $X \cdot u$ pour tout vecteur u.
(2019 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon ; celle-ci permet de mettre en évidence des correspondances entre un morphisme et son morphisme transposé, entre un sous-espace et son orthogonal (canonique), entre les noyaux et les images ou entre les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d’algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Le passage d’une base à sa base duale ou antéduale, ainsi que les formules de changement de base, doivent être maîtrisés. On pourra s’intéresser aux cas spécifiques où l’isomorphisme entre l’espace et son dual est canonique (cas euclidien, cas des matrices). $\\$ Savoir calculer la dimension d’une intersection d’hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L’utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d’obtenir les équations d’un sous-espace vectoriel ou d’exhiber une base d’une intersection d’hyperplans. $\\$ Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique ou analytique. Il faut que les développements proposés soient en lien direct avec la leçon. Enfin rappeler que la différentielle d’une fonction à valeurs réelles est une forme linéaire semble incontournable. $\\$ Il est possible d’illustrer la leçon avec un point de vue probabiliste, en rappelant que la loi d’un vecteur aléatoire $X$ est déterminée par les lois unidimensionnelles de $X \dot u$ pour tout vecteur $u$.
(2017 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon ; celle-ci permet de mettre en évidence des correspondances entre un morphisme et son morphisme transposé, entre un sous-espace et son orthogonal (canonique), entre les noyaux et les images ou entre les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d’algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir calculer la dimension d’une intersection d’hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L’utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d’obtenir les équations d’un sous-espace vectoriel ou d’exhiber une base d’une intersection d’hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique ou analytique. Il faut que les développements proposés soient en lien direct avec la leçon. Enfin rappeler que la différentielle d’une fonction à valeurs réelles est une forme linéaire semble incontournable. Il est possible d’illustrer la leçon avec un point de vue probabiliste, en rappelant que la loi d’un vecteur aléatoire X est déterminée par les lois unidimensionnelles de $X \cdot u$ pour tout vecteur $u$.
(2016 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon ; celle-ci permet de mettre en évidence des correspondances entre un morphisme et son morphisme transposé, entre un sous-espace et son orthogonal (canonique), entre les noyaux et les images ou entre les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d’algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir calculer la dimension d’une intersection d’hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L’utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d’obtenir les équations d’un sous-espace vectoriel ou d’exhiber une base d’une intersection d’hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique ou analytique. Il faut que les développements proposés soient en lien direct avec la leçon. Enfin rappeler que la différentielle d’une fonction à valeurs réelles est une forme linéaire semble incontournable.
(2015 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon : celle-ci permet de créer une correspondance féconde entre un morphisme et son morphisme transposé, un sous-espace et son orthogonal (canonique), les noyaux et les images, les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d'algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir calculer la dimension d'une intersection d'hyperplans via la dualité est important dans cette leçon. L'utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d'obtenir les équations d'un sous-espace vectoriel ou d'exhiber une base d'une intersection d'hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algébrique, topologique, analytique, etc. Il faut que les développements proposés soient en lien direct, comme toujours, avec la leçon ; proposer la trigonalisation simultanée est un peu osé ! Enfin rappeler que la différentielle d'une fonction réelle est une forme linéaire semble incontournable.
(2014 : 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.) Il est important de bien placer la thématique de la dualité dans cette leçon : celle-ci permet de créer une correspondance féconde entre un morphisme et son morphisme transposé, un sous-espace et son orthogonal (canonique), les noyaux et les images, les sommes et les intersections. Bon nombre de résultats d'algèbre linéaire se voient dédoublés par cette correspondance. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir calculer la dimension d'une intersection d'hyperplans est important dans cette leçon. L'utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d'obtenir les équations d'un sous-espace vectoriel ou d'exhiber une base d'une intersection d'hyperplans. Cette leçon peut être traitée sous différents aspects : géométrique, algèbrique, topologique, analytique, etc. Il faut que les développements proposés soient en lien direct, comme toujours, avec la leçon ; proposer la trigonalisation simultanée est un peu osé ! Enfin rappeler que la différentielle d'une fonction réelle est une forme linéaire semble incontournable.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.


2020 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Je suis passé sur cette leçon. Mon plan n'est pas tout à fait celui que j'avais proposé le jour J, j'avais mis beaucoup plus de Frobenius, ce qui leur a bien plus.

    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.


2018 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.


2017 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.


2016 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.


2015 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction de Jordan (par la dualité)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement :
    - J'avais un petit problème de quantificateur écrit au tableau, on me l'a fait relevé et j'ai immédiatement corrigé.
    - On m'a demandé lorsque j'effectue une "récurrence sur la dimension" de quel type de récurrence il s'agissait. Je ne comprenais pas la question j'ai donc explicité quel était l'hypothèse de récurrence de manière plus précise, mais le jury m'a fait soulevé que c'est un type de raisonnement par récurrence particulier : j'ai compris qu'ils voulaient que je dise qu'il s'agissait d'une récurrence forte.
    - J'ai utilisé le lemme des noyaux dans mon développement : on m'a demandé de l'énoncer précisément.
    - Application 1 : Comment montrer à partir de la décomposition de Jordan qu'une matrice est semblable à sa transposée.
    - Application 2 : Montrer que si u admet un espace stable de dimension k alors u admet un espace stable de dimension n-k.
    J'ai compris l'argument pour l'application 2 mais j'ai eu du mal à le formaliser, le jury m'a un peu aidé mais ne s'est pas plus attardé puis on est passé aux questions sur le plan.

    Questions sur le plan / Exercices :
    Q : Calculer la dérivée n-ième en 0 sur factorielle n de X^k (pour 0 <= k <= n). Comment interpréter le résultat en terme de dualité ?
    R : Question bien réussie. Cela donne le symbole de Kronecker, cela signifie que la famille de formes linéaires considérées est la base duale de la base canonique. D'où la formule de Taylor...

    Q : Montrer que u est diagonalisable si et seulement s'il existe n hyperplans d'intersection nulle stable par u.
    R : Question bien réussie avec une indication pour le sens réciproque. Le jury m'a demandé, pour m'aider, la dimension d'une intersection d'hyperplans.

    Q : Dans le plan, il est écrit que pour toute forme linéaire phi sur Mn(K) il existe une matrice A tel que pour tout M, phi(M) = tr(AM). Que dire de l'application phi -> A. Quel interprétation peut-on en faire dans le cas K = R ?
    R : Question bien réussie. Il s'agit d'un isomorphisme. Dans le cas K = R, la réponse attendue était le lien avec le produit scalaire canonique sur Mn(R).

    Q : En dimension infinie, que dire de l'application définie dans le théorème de Riesz ?
    R : Question bien réussie. L'application est injective mais non surjective. Le jury ne m'a pas demandé de contre-exemple.

    Q : Que dire de (ExF)* ?
    R : J'ai dit que j'imagine que c'est isomorphe à E* x F*. Pour le montrer j'ai essayer de donner un isomorphisme mais j'ai un peu galéré à le construire. Le jury m'a donné comme indication : quelle est la dimension de ExF et comment le montrer ? Je suis parti sur une mauvaise piste sur la démonstration et l'oral s'est terminé là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique, qui met en confiance et donne pas mal d'indications.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui je n'ai pas eu de surprise.

  • Note obtenue :

    16


2020 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Espace tangent et extrema liés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je suis passé en 2021, pas en 2020 mais le site ne permet pas d'effectuer de retour pour cette année au moment où je l'écris.

    Questions sur le développement :
    1) réexpliquer le lemme sur les formes linéaires nécessaire à la démonstration du théorème comme si je devais le faire devant une classe
    2) ce dernier est-il toujours vrai si les formes linéaires ne sont pas indépendantes ?
    3) exemple ou l'espace tangent n'est pas un espace vectoriel ? Je n'en avais aucune idée donc le membre du jury m'a demandé de considérer un lemniscate, et notamment où ça clochait (le point du centre ne permet pas de créer un $C^1$ difféomorphisme dans son voisinage, problème d'injectivité)

    Autres questions :
    1) donner un exemple où la famille duale n'est pas une base (prendre $\mathbb{R}[X]$, la base des $(X^n)$ et la forme linéaire $P \mapsto P(1)$)
    2) faire l'application des extrema liés à la quadrique (Exo Directions principales d'une quadrique p408 dans le PGdCD de Rouvière, 4e édition)
    3) quel rapport entre la leçon et la différentielle ?
    4) déterminer le gradient du déterminant (je ne suis pas allé au bout, mais j'ai plus ou moins compris que c'était la comatrice)
    5) l'application $M \mapsto \Phi_M : X \mapsto Tr(XM)$ est un isomorphisme de $M_n(\mathbb{R})$ vers son dual. Quelle est sa norme ($M_n(\mathbb{R})$ est muni de la norme de Frobenius) ? (c'est une isométrie)

    --- u est maintenant un endomorphisme d'un ev de dimension finie --

    6) rapport entre Frobenius et les formes linéaires ? "Démontrer" la partie où il existe un supplémentaire stable au sous espace engendré par un vecteur u-maximal. Ils voulaient juste la formule que l'on peut trouver dans le livre de G. Berhuy : Algèbre, le grand combat tout en haut de la page 1020 (deuxième édition)
    7) démontrer l'existence d'un vecteur u maximal

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était extrêmement poli, courtois, me disait une petite phrase lorsque visiblement je n'avançais pas ou que j'allais faire une grosse c***rie alors que j'étais près du but.

    Surtout réfléchir à voix haute qu'ils voient bien où ça coince pour qu'ils vous débloquent (enfin, s'ils ont envie...).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Rien à signaler, organisation absolument impeccable.

  • Note obtenue :

    18.75


2016 : Leçon 159 - Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    109 : Représentations de groupes finis de petit cardinal.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le plan, ils m'ont fait corrigé une bébé erreur. Et sur mes annexes (pivot de Gauss pour obtenir des équations de sev)
    Detailler un point de mon développement.
    Exos :
    - Prouver la formule de changement de base dans la base duale
    - Montrer que tout endomorphisme d'un C-ev de dimension finie admet un hyperplan stable (bizarre qu'ils m'aient demandé celui là vu mon plan qui mettait en avant pas mal d'application de la transposition déjà)
    - l'exo classique sur les intersections d'hyperplan (que j'ai oublié de rajouter dans mon plan..)
    - montrer à la main (sans les bases antéduales), que deux formes linéaires définissent le même hyperplan ssi elles sont proportionnelles avec un coeff non nul

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le plus neutre du monde possible.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je voulais les titiller avec Hahn Banach (j'avais révisé la preuve) mais ils en ont pas parlé.
    Bon oral cependant je pense !

  • Note obtenue :

    16.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 297 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 25 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 415 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 58 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 222 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 253 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 306 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 78 versions au total)
Algèbre linéaire , Cognet (utilisée dans 9 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 118 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 26 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 141 versions au total)
Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 15 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 40 versions au total)