Développement : Théorème de réduction de Gauss et loi d'inertie de Sylvester [no pdf]

Détails/Enoncé :

Théorème de réduction de Gauss
Soient $E$ un $\mathbb{R}$-e.v. de dimension finie $n$ et $q$ une forme quadratique sur $E$ dont l'on note $r$ le rang. Alors il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_r) \in \mathbb{R}^r$ tous non-nul et il existe $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in E^*$ formes linéaires linéairement indépendantes dans $E^*$ tels que
$$
\forall x \in E, q(x) = \lambda_1 \varphi_1^2 (x) + \dots + \lambda_r \varphi_r^2 (x)
$$

Loi d'inertie de Sylvester
Soient $E$ un $\mathbb{R}$-e.v. de dimension finie $n$ et $q$ une forme quadratique sur $E$ dont l'on note $r$ le rang. Alors il existe $p \in \lbrace 1,\dots,r \rbrace$, $(\lambda_1,\dots,\lambda_r) \in ]0,+\infty[^r$ et $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in E^*$ formes linéaires linéairement indépendantes dans $E^*$ tels que
$$
\forall x \in E, q(x) = \lambda_1 \varphi_1^2 (x) + \dots + \lambda_p \varphi_p^2 (x) - \lambda_{p+1} \varphi_{p+1}^2 (x) - \dots - \lambda_r \varphi_r^2 (x)
$$
Le couple $(p,r-p)$ est appelé signature de $q$ et ne dépend pas du choix de la base.

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