Théorème de réduction de Gauss et loi d'inertie de Sylvester

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

J'ai présenté cette leçon en classe au mois d'avril.
J'ai encadré les THM23, DEF 24, COR25 mais il ne faut pas en tenir compte. Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans $\mathbb{R}$, alors que dans la 170, on peut (et même on doit) parler de ce qui se passe sur $\mathbb{C}$ voire sur $\mathbb{F}_q$.
Il faut bien savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base $q$-orthogonale,...
Concernant les coniques : même en ayant passé beaucoup de temps dessus, j'étais pas vraiment à l'aise... On trouve très difficilement des références où les choses sont VRAIMENT bien faites... Il y a Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3)... Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer... Et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective que je voulais éviter à tout prix (un trop gros investissement juste pour cette leçon...)
Je pense qu'il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (même si personnellement j'étais toujours fébrile quand il s'agissait du cas parabolique). L'un de mes professeurs disait qu'il fallait bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale et tout ça... Il avait à dire que le jury était constitué soit de profs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de profs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Je pense que dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les dingueries du Ladegaillerie ou même du Rombaldi avec le centre orthoptique ou je ne sais quoi...
Concernant le DEV 2 (Par 5 points passe une conique), il m'a demandé beaucoup de travail mais il se recase dans la 191 aussi donc c'est pas mal. Je le trouve pas mal en vrai, ça permet de travailler les coordonnées barycentriques... Pour le trouver dans un ouvrage par contre bonne chance... Il n'y a que le livre de Isenmann et Pecatte (qui sont d'ailleurs je crois l'auteur de ce site).
Bref, voilà une proposition de leçon 171, je pense qu'il faut très bien bosser les formes quadratiques et se tenir quand même un peu au courant de la classification des coniques et des aspects géométriques mais ne pas y passer des semaines et des week-end entiers...

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

ATTENTION : J'ai fait cette leçon au mois de mai, puis je me suis rapidement rendu compte que mon plan était mal articulé, j'ai donc échangé et/ou regroupé certaines sous-parties. Il faut prendre en compte le plan général que j'ai mis en page 1 du PDF, puis pour chaque sous-partie se référer à celle qui correspond dans la leçon pour y voir le contenu.
Je suis désolé, je n'ai pas pris le temps de refaire la leçon en entier après avoir modifié le plan, mais c'est juste les mêmes choses mises dans un ordre différent !

Cette leçon est très intéressante car elle permet vraiment de choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. Elle peut effrayer mais avec un peu travail on s'en sort ! On peut piocher dans les groupes évidemment, mais aussi la géométrie affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité !
Voir aussi la leçon de Tintin qui est très bien !
Les tableaux proposant la classification des isométries vectorielles en dimension 2 et 3 en annexe sont bien mieux que ceux de ma leçon 161... Je recommande donc d'apprendre plutôt ceux-ci (ils sont dans le Garnier et le Combes il me semble)
Pour les références, voir aussi le Aebischer pour les coniques.