Développement : Enveloppe convexe de On(R)

Détails/Enoncé :

L'enveloppe convexe de $O_n(\mathbb{R})$ est la boule unité fermée de $M_n(\mathbb{R})$ pour la norme $||.||_2$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    D'après moi pour les leçons : 159, 161 et 181.

    Ma version est une version "minimale" qui n'utilise pas Hahn-Banach, mais une version affaiblie du tout début de la démonstration de ce théorème dans un espace de Hilbert qui est très simple à démontrer.
    Attention à bien préciser que l'on admet deux gros théorèmes pour ce développement : Caratheodory et la décomposition polaire.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Recasages : 151,159,160,161,181,253

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/1dcb3b75-ab4b-463c-b94b-d19aa384f9ba/Enveloppe_convexe_de_On(R).pdf?id=e7cc361a-8038-455d-b73d-71c3b0942b1a&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=jswTPoVYRXlHyEUm1TIhveVrxZeg-bqjzU_FYxM2Fn0&downloadName=Enveloppe+convexe+de+On%28R%29.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Ma version reprend les références, mais elle reste quand même très différente.
    En fait, j'ai travaillé le développement à l'aide des références, puis j'ai enlevé les arguments qui ne servaient pas. Au final, j'ai conservé une trame de preuve similaire, mais les détails diffèrent par moments. C'est un développement particulier à travailler avec soin, de mon point de vue.

    Et aussi, j'ai un peu plus détaillé certains passages passés sous silence par les références.

    Attention aux coquilles.
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    Résultat plutôt mignon ! Je pense que c'est un développement qui peut amener des questions assez dures (on utilise Hahn-Banach affaibli, des résultats en tout genre sur On(R) etc.) donc je le qualifierai de développement plutôt dur.

    Je le prends pour les leçons 159, 161 et 181.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 344 du Szpirglas et on utilise le théorème I.7 du Brézis (pour Hahn-Banach).
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    Joli résultat, mais développement somme toute assez risqué. Il faut maîtriser le théorème de projection sur les convexes fermés dans un Hilbert (bon en même temps, il faut le maîtriser de toute façon), la décomposition polaire, et plus précisément sa version non inversible, le dual de Mn(R) (pas trop difficile) et le fameux théorème de Carathéodory. En dimension finie, il est honnêtement démontré dans un des Gourdon (je ne sais plus si c'est en algèbre ou en analyse). Il passe relativement bien dans le temps imparti, mais il faut quand même bien le connaître, et ne pas trop traîner. Un schéma pour la propriété de séparation dans les Hilbert ne fait pas de mal. Le Queffelec traite le lemme, et le BMP le reste. Ceci dit, je n'étais pas convaincu de la qualité de ces références, il faut mieux bien connaître les preuves. Côté recasages à mon avis:

    - Espaces vectoriels affines et euclidiens : distances, isométries
    - Convexité dans Rn (de part l'utilisation importante des barycentres dans le lemme, et le fait qu'on parle quand même d'enveloppe convexe...)
    - Dualité et formes linéaires en dimension finie. Si on le recase dans cette leçon, il faut quand même prouver, je pense, que le dual de Mn(R) est ce qu'il est, quitte à enlever quelque chose d'autre.
    - Endomorphismes remarquables dans un ev de dimension finie

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 35 versions au total)