Développement : Enveloppe convexe de On(R)

Détails/Enoncé :

L'enveloppe convexe de $O_n(\mathbb{R})$ est la boule unité fermée de $M_n(\mathbb{R})$ pour la norme $||.||_2$.

Auteur :
F.A.
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 159, 161 et 181.

Ma version est une version "minimale" qui n'utilise pas Hahn-Banach, mais une version affaiblie du tout début de la démonstration de ce théorème dans un espace de Hilbert qui est très simple à démontrer.
Attention à bien préciser que l'on admet deux gros théorèmes pour ce développement : Caratheodory et la décomposition polaire.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
- Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- Enveloppe convexe O_n - V1.pdf

Auteur :
Lavos
Remarque :
La version affaiblie de Hahn-Banach géométrique suffit largement pour ce développement à mon avis. Il y a bien assez de connaissances à avoir en tête pour le maîtriser avec Carathéodory, le dual de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ et la décomposition polaire.
Références :
- Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- enveloppe_convexe.pdf