Leçon 158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

(2017) 158
(2019) 158

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois constituer un développement consistant. La notion de signature doit être présentée ainsi que son unicité dans la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. La partie réelle et la partie imaginaire d’un produit hermitien définissent des structures sur l’espace vectoriel réel sous-jacent. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. Les candidats familiers avec ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible. Une discussion de la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d’un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d’un vecteur gaussien de matrice de covariance identité), peut mériter sa place dans cette leçon.

(2016 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois être un développement consistant. La notion de signature doit être présentée ainsi que son unicité dans la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. La partie réelle et la partie imaginaire d’un produit hermitien définissent des structures sur l’espace vectoriel réel sous-jacent. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques.
(2015 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) C'est une leçon transversale. La notion de signature doit bien sûr figurer dans la leçon et on ne doit surtout pas se cantonner au cas des matrices définies positives. L'action du groupe linéaire sur l'espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Curieusement, il est fréquent que le candidat énonce l'existence de la signature d'une matrice symétrique réelle sans en énoncer l'unicité dans sa classe de congruence. L'orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un produit hermitien définissent des structures sur l'espace vectoriel réel sous-jacent.
(2014 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) C'est une leçon transversale. La notion de signature doit figurer dans la leçon et on ne doit surtout pas se cantonner au cas des matrices définies positives. Curieusement, il est fréquent que le candidat énonce l'existence de la signature d'une matrice symétrique réelle sans en énoncer l'unicité dans sa classe de congruence. On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un produit hermitien définissent des structures sur l'espace vectoriel réel sous-jacent.

Développements :

Plans/remarques :

2018 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2017 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2016 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2015 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 92 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 238 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 50 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 136 versions au total)