Développement : Inégalités de Weyl

Détails/Enoncé :

Soit $M\in H_n(\mathbb{C})$, $\lambda_1(M)\leq..\leq\lambda_n(M)$ ses valeurs propres, $E_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $k$ et $S$ la sphère unité, on a les formules de min-max suivantes:
\begin{align*}
\lambda_k(M)&=\underset{F\in E_k}{\min}\ \underset{x\in F\cap S}{\max}x^* Mx\\
&=\underset{F\in E_{n-k+1}}{\max}\ \underset{x\in F\cap S}{\min}x^* Mx
\end{align*}
Si $M$ et $N$ sont hermitiennes, on en déduit les inégalités de Weyl:
\begin{align*}
\lambda_i(M)+\lambda_j(N)&\geq \lambda_{k}(M+N) &\text{ où }i+j=n+k\\
\lambda_i(M)+\lambda_j(N)&\leq \lambda_{k}(M+N) &\text{ où }i+j=1+k\\
\end{align*}
Exemple de corollaire: $M\mapsto \lambda_k(M)$ est 1-Lipschitzienne.

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