Leçon 158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

(2023) 160

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d'endomorphismes normaux peut être évoquée. L'étude des projections orthogonales (en lien ave le calcul de distances), des rotations, des réflexions, des renversements, etc. fournit des exemples dignes d'intérêt. Une illustration pertinente peut s'appuyer sur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l'hypothèse de rang plein de A sur le caractère inversible de $A^\top A$.

(2019 : 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d’endomorphismes normaux peut être évoquée. $\\$ L’étude des projections orthogonales (en lien avec le calcul de distances), des rotations, des réflexions, des renversements, etc. fournit des exemples dignes d’intérêt. Une illustration pertinente peut s’appuyer sur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l’hypothèse de rang plein de $A$ sur le caractère inversible de $A^TA$.
(2017 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d’endomorphismes normaux peut être évoquée. Une illustration pertinente peut s’appuyer sur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l’hypothèse de rang plein de A sur le caractère inversible de $A {}^T A$.
(2016 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension nie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction de endomorphismes normaux peut être évoquée.
(2015 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, les candidats doivent bien prendre conscience que le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Par exemple, des développements comme le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford n'ont rien à faire ici. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur.
(2014 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Les candidats doivent bien prendre conscience que le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Par exemple, des développements comme le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford n'ont rien à faire ici. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 158 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Auteur :
  • Remarque :
    Le Rombaldi permet de traiter la quasi intégralité de la leçon.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

2023 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mon plan totalement improvisé de mon oral blanc de leçon d'algèbre au sein de ma prépa-agreg. Vous constaterez qu'il est loin d'être parfait et comporte quelles coquilles dues au stress et au manque de temps, mais je l'ai déposé pour que vous puissiez voir à quoi ressemble une production dans le temps imparti de l'épreuve officielle.
    Je laisse en référence les livres que j'avais utilisés pendant le temps de préparation.
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2020 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2018 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2017 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2016 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension nie).


2015 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 158 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Leçon choisie :

    158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes finis de S0(3)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon développement était plutôt rapide donc il m'ont demandé de répéter des justifications que j'avais donné seulement à l'oral.

    Il y avait une erreur dans mon plan, j'avais écrit "les valeurs propres d'une matrice orthogonale sont +1 ou -1" et ont vite compris que je maîtrisais mal les valeurs propres des matrices orthogonales, alors toutes les questions ont tourné autour de ceci et en lien avec la classification des matrices de SO2(R) ou O2(R).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Peu expressif mais ils accompagnaient vraiment bien, en laissant de la liberté.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'aurais dû mettre moins de points de mon plan sur les généralités des espaces euclidiens, j'aurais eu alors plus de temps pour parler des matrices de Gram par exemple. Pour l'oral lui-même je suis content, bien que mes manque de connaissances sont vites révélées, j'ai su répondre aux problématiques qu'ils me posaient pour corriger mes lacunes.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2022 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2019 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Leçon choisie :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions du jury :
    - Lorsque l'on parle d'homéomorphisme dans la décomposition polaire, de quelles topologies parle-t-on ?
    - Quelles peuvent être les applications du théorème spectral ? Je ne vois pas ce que le jury veut me faire dire, on me demande donc à quel objet peut s'associer une matrice symétrique. Je répond donc que le théorème spectral peut servir à l'étude générale des formes quadratiques, le jury me demande de l'expliquer.
    - Expliquez pourquoi on peut simultanément diagonaliser deux endomorphismes symétriques qui commutent.
    - Montrez l'existence et l'unicité de l'adjoint. Je réponds que ça découle du théorème de Riesz-Fréchet en dimension finie, que le jury me demande de démontrer.
    - Montrez que l'ensemble des matrices symétriques définies positives est ouvert dans l'ensemble des matrices symétriques. Le jury s'attendait à ce que j'utilise la caractérisation par les mineurs principaux.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, très neutre, laissait du temps pour réfléchir et n'aidait que si je ne m'en sortais pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le tableau était très petit ce qui était un peu déstabilisant pour le développement.

  • Note obtenue :

    14


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 408 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 32 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 301 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 82 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 109 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 377 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 49 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 93 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 132 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 54 versions au total)
Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Humphreys (utilisée dans 4 versions au total)
Algèbre , Tauvel (utilisée dans 8 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 60 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 24 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 139 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 43 versions au total)
Géométrie, Audin (utilisée dans 29 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)