Développement : Théorème spectral et extrema

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension finie, et $q,\phi$ deux formes quadratiques sur $E$. On suppose $q$ définie positive. Alors il existe une base $q$-orthonormée et $\phi$-orthogonale.
De plus, si dans cette base $\phi$ est représentée par la matrice diagonale dont les coefficients sont les $a_k$, alors ces coefficients sont les valeurs de la fonction $F(x) := \frac{\phi(x)}{q(x)}$ en ses points critiques.
On applique cela à la recherche d'extrema d'une fonction qui est rapport de deux formes quadratiques.

NB: La preuve du théorème spectrale est traduite en terme d'un problème d'extremum. Pour l'hérédité, on exhibe un vecteur propre en considérant l'extremum d'une fonction définie sur la sphère unité, puis en la différenciant.

NB2: Il est également possible de démontrer le théorème spectral en utilisant les extrema liés, cf Avez.

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  • Remarque :
    Le tout est sans doute trop long pour l'oral. On peut raccourcir en ne choisissant que quelques points.
    Les points 1-2-3 sont démontrés dans le livre de Seguin Pazzis. La preuve du théorème spectral est juste suggérée en exercice, mais pas détaillée.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :