Leçon 214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

(2023) 214
(2025) 214

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.) Les deux théorèmes fondamentaux auxquels cette leçon est consacrée offrent une belle utilisation de la complétude, qu'il conviendra d'évoquer. La démonstration de l'un de ces deux théorèmes peut parfaitement faire l'objet d'un des deux développements. On pourra par exemple mettre en pratique, sur des exemples bien choisis, le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles, pour enrichir le plan avec profit. Des applications significatives aussi bien en analyse qu'en géométrie sont attendues : problèmes d'optimisation sous contraintes (inégalité de Hölder, inégalité d'Hadamard, etc), régularité des racines d'un polynôme en fonction des coefficients, etc. La méthode des multiplicateurs de Lagrange a bien évidemment toute sa place dans cette leçon, à condition qu'elle soit illustrée par des exemples. L'interprétation de l'énoncé en termes d'espace tangent est visuellement éclairante et permet d'éviter les éventuelles confusions résultant de raisonnements purement matriciels. Les candidates et candidats solides peuvent s'intéresser à l'étude locale d'applications suffisamment régulières (submersions, immersions, théorème du rang constant, lemme de Morse), au lemme de Sard, ainsi qu'aux sous-variétés de $R^n$. 215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications. L'idée de départ de cette leçon est qu'une fonction suffisamment régulière se comporte localement comme une application linéaire. De nombreuses différentielles usuelles (notamment issues de l'algèbre linéaire) peuvent ainsi être obtenues en calculant directement un développement limité. Des exemples significatifs en dimension 2 et 3 pourront venir illustrer la différence fondamentale avec la dimension 1. Les dérivées partielles, lorsqu'elles existent, pourront clarifier l'expression de nombreuses différentielles ainsi que la règle de la chaîne. Les candidates et candidats solides peuvent s'intéresser la notion de différentielle seconde pour les fonctions de classe $C^2$, à la différentielle de l'exponentielle matricielle, ainsi qu'aux points où celle- ci est un difféomorphisme local, aux fonctions harmoniques et à leurs propriétés élémentaires, à la caractérisation des fonctions holomorphes et son interprétation géométrique. Pour ce qui concerne les applications, de nombreux thèmes relatifs aux leçons 214 ou 219 sont ici appropriés.

(2022 : 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.) Les deux théorèmes fondamentaux auxquels cette leçon est consacrée offrent bien sûr une belle utilisation de la complétude, qu'on ne passera pas sous silence. Pour autant, pour traiter l'intégralité du sujet, il faut se garder d'un point de vue trop formel, et proposer des applications significatives aussi bien en analyse qu'en géométrie : étude locale de courbes, de surfaces ou d'intersection de surfaces, problèmes d'optimisation sous contraintes (si possible autres que la preuve de l'inégalité arithmético-géométrique), régularité des racines d'un polynôme en fonction des coefficients, etc. Une bonne compréhension de la méthode des multiplicateurs de Lagrange requiert celle de la notion d'espace tangent, qui en donne une justification beaucoup plus claire que certains raisonnements purement matriciels. Les candidats solides pourront s'intéresser à l'étude locale d'applications suffisamment régulières (submersions, immersions, théorème du rang constant, lemme de Morse), au lemme de Sard, ainsi qu'aux sous-variétés de $R^n$.
(2019 : 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.) Il s’agit d’une leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formalisation de la méthode des multiplicateurs deLagrange. En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement « sous-matriciel » est souvent obscure ; on privilégiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : arithmético-géométrique, Hölder, Carleman, Hadamard,... $\\$ Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
(2017 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.) Il s’agit d’une leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : Hölder, Carleman, Hadamard,... En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement « sous-matriciel » est souvent obscure ; on privilégiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
(2016 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications. ) Il s’agit d’une belle leçon, formulée ici dans la version qui sera adoptée pour la session 2017, qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : arithmético-géométrique, Hölder, Carleman, Hadamard, . . . En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement “sous-matriciel” est souvent obscure ; on priviligiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
(2015 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.) Il s'agit d'une belle leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d'attendre de lui des idées de démonstration de ces deux théorèmes fondamentaux. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle (notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons que les sous-variétés sont au programme.
(2014 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.) Il s'agit d'une belle leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d'attendre de lui des idées de démonstration de ces deux théorèmes fondamentaux. On attend des applications en géométrie différentielle (notam- ment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons que les sous-variétés sont au programme.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette leçon faisait partie du couplage que j'ai tiré cette année. Mais je n'aime ni le calcul différentiel, ni la géométrie.
    J'ai essayé d'inclure un maximum d'applications pour éviter de parler de sous-variétés, thème sur lequel je ne suis pas du tout à l'aise.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
    Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins "futée" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
    Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
    Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
    Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).
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  • Remarque :
    Cette leçon demande par mal d'investissement car le calcul différentiel n'est plus très privilégié alors il est rare d'avoir un bon cours qui traite très bien le théorème d'inversion locale et le théorème des fonctions implicites et qui donne des exemples d'applications ! Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire pas mal d'exercices d'application de ces théorèmes afin de mieux les retenir.
    Après, il y a les sous-variétés... Cette notion est encore moins traitée que le calcul différentiel alors elle demande encore plus d'investissement... Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir (définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent) mais ça reste difficile lorsqu'on en a jamais fait. Il faut également connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples et trouver des espaces tangents en un point dans des espaces de matrices par exemple. Inutile ensuite d'aller plus loin vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes ou d'atlas !) car le jury sait que cette leçon est difficile pour les candidats alors il ne demande pas un niveau de maîtrise excellent.

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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2023 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

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    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2020 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

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  • Remarque :
    J'aime beaucoup cette leçon. J'aurais peut-être dû ne pas faire de schéma du folium pour gagner de la place pour les autres schémas. Il faut être au point sur les preuves usuelles de la leçon (dont inversion locale !). Il aurait été bon que je mette plus d'exemples "pratiques" ou plus développés mais... j'avais besoin de place pour bien traiter la géo diff.
    Petits typos :
    -dans l'ex2, il faut préciser que les intervalles sont ouverts, et je ne parle pas d'un cercle mais d'un disque
    -dans mes propriétés 29 et 30, il est plus juste d'écrire "Localement, à difféomorphisme près" ou "A difféomorphismes locaux près" : il n'y a pas unicité du difféo...

    A propos des refs, Lafontaine traite très bien la géodiff et l'inversion locale. Objectif Agrégation est une perle pour les applications et les schémas. Rouvière est très bien pour les exemples et applications, mais je n'aime vraiment pas son formalisme dans le cours (il se perd dans des formulations analytiques au lieu de parler d'injectivité/surjectivité des différentielles...).

    En bref, une leçon très plaisante, où l'on a énormément de choses à dire - il ne faut pas trainer le jour J.
  • Références :
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2018 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2017 : Leçon 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2016 : Leçon 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2022 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Leçon choisie :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Autre leçon :

    264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Extrema liés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D'abord des questions du le développement (théorème des extrema liés) : on me demande comment prouver le théorème de forme normale des submersions (que j'utilise dans le développement). Là j'ai un trou et je n'arrive pas bien à réfléchir car c'est mon dernier oral et je suis fatiguée. Le jury finit pas dire "on passe à autre chose", je me suis dit que ça partait mal mais en fait je me suis rattrapée ensuite.
    On commence par me poser des exercices très faciles d'application directe du TIL et du théorème des fonctions implicites, et au fur et à mesure le jury rajoutait des questions de plus en plus difficiles : au bout d'un moment je ne savais vraiment plus répondre, ils m'ont donc aidée un peu, et l'oral s'est terminé au milieu d'un exercice.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury neutre mais plutôt gentil. Il n'aidait pas beaucoup, donc parfois quelques blancs pendant plusieurs minutes quand je réfléchissais.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS, tout était bien organisé.
    J'ai mis beaucoup de temps à écrire le plan (2h30) vu qu'il y a pas mal de dessins à faire en annexe. Je n'ai donc pas revu mes développements (mais je savais que je les connaissais bien). Sur la fin j'essayais de revoir les démonstrations des résultats du plan. Je n'ai pas eu le temps de réfléchir à la présentation de 6 min, j'y ai réfléchi rapidement en attendant devant la porte de la salle juste avant l'oral.

  • Note obtenue :

    14


2020 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Leçon choisie :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Autre leçon :

    223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème des fonctions implicites

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1) Questions sur le dev (théorème des fonctions implicites)
    - Vérification que j'avais compris le calcul d'une différentielle dans mon dev
    - Pourquoi on pouvait "deviner" que la différentielle de la fonction implicite était de la forme proposée dans l'énoncé du théorème
    - Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue?

    2) Questions sur le plan
    - Et si dans le théorème des fonctions implicites on suppose que $f$ est plus régulière (par exemple de classe $C^k$), est ce qu'on a plus de régularité sur la fonction implicite $\phi$? ($\phi$ est de classe $C^k$ d'après l'expression de sa différentielle)
    - Justifier pourquoi exp (matricielle) est un difféomorphisme local en $0_n$ (classique)
    - Montrer que exp (matricielle) est dérivable partout (utiliser les théorème de dérivation des séries de fonctions)
    - Qu'est ce qu'un difféomorphisme global, quel est le lien avec les difféomorphismes locaux?
    - Donner un exemple de difféomorphisme local non difféomorphisme global (l'application $z \mapsto z^2$ où $z \ne 0$ est vu comme un complexe)
    - Illustrer le théorème des extremas liés par une figure (j'ai bidouillé une figure, ce n'était pas très convainquant, on est passé à la suite)

    3) Exercices
    - Soit $f$ une application $\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$ de classe $C^1$ telle que $\forall x \in \mathbf{R}^n, \forall y \in \mathbf{R}^n, ||f(x)-f(y)|| \geq ||x-y||$. Montrer que $f$ est un difféomorphisme global de $\mathbf{R}^n$ sur $\mathbf{R}^n$ (injectivité évidente, montrer que f est un difféomorphisme local en vérifiant que la différentielle est injective, en déduire que l'image de $f$ est ouverte, vérifier l'image est complète par des suites de Cauchy donc fermée, et enfin conclure que l'image est $\mathbf{R}^n$ tout entier par connexité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Attitude neutre, un tout petit peu d'aide

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Première fois que je présentais un résultat sur un tableau (candidat libre), j'ai rédigé de façon assez brouillonne le dev.

  • Note obtenue :

    19


2018 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Leçon choisie :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Autre leçon :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de D'Alembert-Gauss par connexité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques petites questions sur le développement (on m'a demandé des précisions sur certains points). Ensuite, un juré a repris point par point chaque application du théorème des fonctions implicites se trouvant dans mon plan (que j'avais honteusement pompé du Madère), j'ai eu beaucoup de mal à répondre...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le juré qui a repris mes applications avait un ton légèrement cassant et ne m'aidait pas beaucoup lorsque je bloquais... Les deux autres étaient visiblement intéressés par ce que j'avais à raconter et m'ont posé beaucoup de questions et ne me laissaient pas sans rien faire au tableau. Globalement, l'expérience était positive.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais à disposition un tableau blanc (velleda). Sinon, rien à signaler.

  • Note obtenue :

    9


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 18 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Calcul différentiel, Avez (utilisée dans 21 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 37 versions au total)
Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 55 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)
Calcul différentiel , Gonnord, Tosel (utilisée dans 12 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 25 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 47 versions au total)
Calcul différentiel et calcul intégral, Chaperon (utilisée dans 1 versions au total)