Leçon 214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

(2017) 214
(2019) 214

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.) Il s’agit d’une leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : Hölder, Carleman, Hadamard,... En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement « sous-matriciel » est souvent obscure ; on privilégiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.

(2016 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications. ) Il s’agit d’une belle leçon, formulée ici dans la version qui sera adoptée pour la session 2017, qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : arithmético-géométrique, Hölder, Carleman, Hadamard, . . . En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement “sous-matriciel” est souvent obscure ; on priviligiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
(2015 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.) Il s'agit d'une belle leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d'attendre de lui des idées de démonstration de ces deux théorèmes fondamentaux. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle (notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons que les sous-variétés sont au programme.
(2014 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.) Il s'agit d'une belle leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d'attendre de lui des idées de démonstration de ces deux théorèmes fondamentaux. On attend des applications en géométrie différentielle (notam- ment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons que les sous-variétés sont au programme.

Développements :

Plans/remarques :

2018 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2017 : Leçon 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2016 : Leçon 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Leçon choisie :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Autre leçon :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de D'Alembert-Gauss par connexité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques petites questions sur le développement (on m'a demandé des précisions sur certains points). Ensuite, un juré a repris point par point chaque application du théorème des fonctions implicites se trouvant dans mon plan (que j'avais honteusement pompé du Madère), j'ai eu beaucoup de mal à répondre...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le juré qui a repris mes applications avait un ton légèrement cassant et ne m'aidait pas beaucoup lorsque je bloquais... Les deux autres étaient visiblement intéressés par ce que j'avais à raconter et m'ont posé beaucoup de questions et ne me laissaient pas sans rien faire au tableau. Globalement, l'expérience était positive.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais à disposition un tableau blanc (velleda). Sinon, rien à signaler.

  • Note obtenue :

    9


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 18 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 207 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 25 versions au total)
Calcul différentiel , Gonnord, Tosel (utilisée dans 12 versions au total)