(2017 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.)
Il s’agit d’une leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : Hölder, Carleman, Hadamard,... En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement « sous-matriciel » est souvent obscure ; on privilégiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Quelques petites questions sur le développement (on m'a demandé des précisions sur certains points). Ensuite, un juré a repris point par point chaque application du théorème des fonctions implicites se trouvant dans mon plan (que j'avais honteusement pompé du Madère), j'ai eu beaucoup de mal à répondre...
Le juré qui a repris mes applications avait un ton légèrement cassant et ne m'aidait pas beaucoup lorsque je bloquais... Les deux autres étaient visiblement intéressés par ce que j'avais à raconter et m'ont posé beaucoup de questions et ne me laissaient pas sans rien faire au tableau. Globalement, l'expérience était positive.
J'avais à disposition un tableau blanc (velleda). Sinon, rien à signaler.
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