Développement : Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie

Détails/Enoncé :

Soit $f: R^n→R^n$ de classe $C^1$ telle que pour tout $x \in R^n$, $df(x) \in O_n(R)$. Alors $f$ est une isométrie affine.

Recasages pour l'année 2026 :

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    Recasages: 204, 215

    Pages 42+328+349

    On montre que tout ouvert connexe de $\mathbb{R}^n$ est connexe par lignes brisées, le lien entre constance et différentielle nulle sur un connexe, et enfin le théorème.

    Mon site: https://esuong-maths.fr
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles, erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    Développement pas trop difficile mais sympa quand même.

    Les recasages à mon avis:
    Connexité
    Thm d'inversion locale et des fonctions implicites
    Applications différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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    - Un ouvert de $\mathbb{R}^n$ est connexe ssi il est connexe par lignes brisées ;
    - Sur un ouvert connexe, une fonction $\mathcal{C}^1$ de différentielle nulle est constante ;
    - Une fonction $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ de différentielle isométrique est isométrique.

    Leçons concernées : 204, 214, 215
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    Le dev est au recto, lemmes au verso
    Réf : Gourdon p.350 et Szpirglas p.390
    Recasage : 161, 204, 214, 215

    Remarque : Développement très original ! Pour la 161, il faut mettre le premier théorème (isométrie <=> affine de partie linéaire orthogonale). Pour les leçons d'analyse, il vaut mieux proposer à la place le dernier lemme au verso (sur un ouvert connexe, différentielle nulle <=> constante). Je vous conseille de faire un plan en 3 items pour le résultat principal.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 777 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 47 versions au total)