(2017 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.)
Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles, mais aussi de ce qui les distingue. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). La méthode du gradient pour la minimisation de la fonctionnelle $\frac{1}{2} (Ax | x) - (b|x)$ où $A$ est une matrice symétrique définie positive, conduit à des calculs de différentielles qui doivent être acquis par tout candidat.
Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
-Questions sur le développement : imprécision dans les notations du lemme présent dans le développement (application du théorème d'inversion locale), précision sur la somme directe (matrices symétriques/antisymétriques)
-Concernant le théorème sur les extrema locaux (notations de Monge) : connaissez vous un autre théorème qui concerne les extrema. J'ai nommé le théorème des extrema liés (sans pouvoir le citer)
-Application du théorème des fonctions implicites pour montrer que $AB-I_n$ (avec A matrice inversible) avait comme solution $B=A^{-1}$
-Si t appartient à l'intervalle $\left]\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right[$ : montrer qu'il existe une unique solution à l'équation cos(tx)+sin(tx)=x. Le jury m'a fait remarqué que l'on peut l'écrire f(x)=x. J'ai pensé au théorème du point fixe, donné les hypothèses. Il fallait faire une majoration sur le signe de la dérivée pour voir que f était strictement contractante.
Ensuite, montrer que l'on peut écrire t en fonction de x (application du théorème des fonctions implicites)
Jury peu aidant pour les questions
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.
224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
La défense du plan et la présentation du développement se sont passés sans problème. Ils m'ont posé quelques questions sur le développement et sur les sous-variétés de $\mathbb{R}^n $ (Je présentais les Extrema liés sans mentionné les sous-variétés).Ils m'ont posé quelques questions sur mon plan et se sont plus particulièrement concentrés sur la partie Optimisation. je me souviens de deux questions : "Pourquoi une fonction convexe qui admet un minimum local admet un minimum global", "pourquoi $ x \longmapsto Ax \cdot x $ est convexe lorsque A est une matrice symétrique positive". Ces petites questions venaient principalement d'un des trois membres du jury. Il m'a également demandé un contre-exemple au théorème des extrema liés dans la cas où les gradients ne forment pas une famille libre. Je lui ai fait remarqué que j'en avais mis un dans le plan et il m'a demandé de le traiter. Un des deux autres membres du jury me posait des exercices tels que :
- A quelle condition sur une matrice M, on peut inverser localement l'application $A \longmapsto A^2$ dans Mn(R) ?
-Appliquer le théorème des extrema liés sur une fonction qui admet un extremum local sur la sphère euclidienne.
-Soient f et g deux applications de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs réelles. Il y avait des conditions sur f et g et il fallait montrer que f/g se prolonge en une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$.
Le jury était très sympathique et a cherché à me mettre en confiance dès que je suis entré dans la salle.
Aucune surprise.
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