Développement : Différentielle du déterminant

Détails/Enoncé :

Soit la fonction
\[\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R}.\]
On a donc pour tout $X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et pour tout $H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$,
\[D_X\det.H=\textrm{Tr}(^t\textrm{Com}(X).H).\]

puis une application

Soit $y_1,...,y_n$ des solutions à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ du système différentiel $y'(t)=A(t)y(t)$, où $A(t)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est une fonction continue et soit $w(t)=\det(y_1(t),...,y_n(t))$ leur déterminant wronskien.

Alors $w'(t)=\textrm{Tr}(A(t))w(t)$. De plus, si $A$ est constante, $\det(e^{tA})=e^{t\textrm{Tr}(A)}$.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 136 versions au total)