Leçon 215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

(2016) 215
(2018) 215

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles, mais aussi de ce qui les distingue. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). La méthode du gradient pour la minimisation de la fonctionnelle $\frac{1}{2} (Ax | x) - (b|x)$ où $A$ est une matrice symétrique définie positive, conduit à des calculs de différentielles qui doivent être acquis par tout candidat. Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.

(2016 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications. ) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivées partielles. On doit pouvoir mettre en pratique le théorème de différentiation composée pour calculer des dérivées partielles de fonctions composées dans des situations simples (par exemple le laplacien en coordonnées polaires). La différentiation à l’ordre 2 est attendue, notamment pour les applications classiques quant à l’existence d’extrema locaux. On peut aussi faire figurer dans cette leçon la différentielle d’applications issues de l’algèbre linéaire (ou multilinéaire). Pour aller plus loin, l’exponentielle matricielle est une ouverture pertinente. D’autres thèmes issus de la leçon 214 trouvent aussi leur place ici.
(2015 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivés partielles. Une bonne maîtrise du théorème de différentiation composée est attendue. L'énoncé doit être connu et compris ; il faut pouvoir l'appliquer dans des situations simples. Signalons aussi que cette application pose souvent problème lorsque l'une des fonctions en jeu est une fonction réelle de variable réelle, comme lorsque que l'on calcule la différentielle de l'application $x \longmapsto ||x||$ pour la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$. La notion de différentielle seconde est attendue au moins pour les fonctions de classe applications classiques quant à l'existence d'extremums locaux.
(2014 : 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.) Cette leçon requiert une bonne maîtrise de la notion de différentielle première et de son lien avec les dérivés partielles. Le théorème de différentiation composée doit être connu et pouvoir être appliqué dans des cas simples comme le calcul de la différentielle de l'application $x \rightarrow ||x||^2$ pour la norme euclidienne sur $R^n$ . La notion de différentielle seconde est attendue au moins pour les fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ ainsi que les applications classiques quant à l'existence d'extrema locaux.

Développements :

Plans/remarques :

2017 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.


2016 : Leçon 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.


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Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Developpements d'analyse , Madere (utilisée dans 1 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 56 versions au total)