Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^2$. La fonction $f$ est un $C^1$ difféomorphisme de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ si et seulement si $f$ est propre et pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $Df_x$ est inversible.
La preuve faite dans le livre de Queffelec n'est pas optimale, mais c'est à peu près la seule référence. L'adaptation au cas où $f$ est seulement $\mathcal{C}^{1}$ vient d'une idée de D. Monclair.
Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $f : \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
-- L'application $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}^n$.
-- Pour tout $x\in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{D}_x f$ est inversible, et $\lim\limits_{\|x\|\to +\infty}{\|f(x)\|}=+\infty$.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
J'ai fini par faire une preuve maison adaptée du ZQ utilisant les fonctions de Liapounov ; tous les théorèmes utilisés sont cités et démontrés dans le fichier, mais sinon je crois que pendant mon oral de modé j'ai trouvé des trucs là dessus dans le Hubbard-West. La preuve du ZQ (pas la nouvelle édition) a beaucoup de soucis, apparemment c'est plus simple dans le Bernis, mais je m'y suis attachée, donc bon. Si on ne passe pas par les fonctions de Liapounov, faire des dessins pour la stabilité asymptotique.
Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6
Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
Attention, ce développement est utilisé dans des leçons de votre couplage. Voulez-vous quand même le supprimer de votre couplage ?
Notre livre est édité !
Après plus d'un an et demi d'écriture, notre livre voit enfin le jour !
Cet ouvrage a été relu par des agrégatifs comme vous pour en faire un outil le plus utile possible !
Cet ouvrage propose une liste de développements analysés finement, replacés dans un contexte global listant le plus exhaustivement possible les imbrications des résultats avec le reste du monde mathématique. Le lecteur trouvera dans cet ouvrage toute les techniques fondamentales de preuve ainsi que des entraînements complets et pédagogiques afin d’être préparé au mieux pour le concours de l’agrégation de mathématiques.