Développement : Théorème d'Hadamard Levy

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^2$. La fonction $f$ est un $C^1$ difféomorphisme de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ si et seulement si $f$ est propre et pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $Df_x$ est inversible.

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  • Remarque :
    La preuve faite dans le livre de Queffelec n'est pas optimale, mais c'est à peu près la seule référence. L'adaptation au cas où $f$ est seulement $\mathcal{C}^{1}$ vient d'une idée de D. Monclair.






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    Version un poil différente des autres.
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  • Remarque :
    Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $f : \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$.
    Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    -- L'application $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}^n$.
    -- Pour tout $x\in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{D}_x f$ est inversible, et $\lim\limits_{\|x\|\to +\infty}{\|f(x)\|}=+\infty$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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