Développement : Théorème d'Hadamard Levy

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^2$. La fonction $f$ est un $C^1$ difféomorphisme de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ si et seulement si $f$ est propre et pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $Df_x$ est inversible.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    La preuve faite dans le livre de Queffelec n'est pas optimale, mais c'est à peu près la seule référence. L'adaptation au cas où $f$ est seulement $\mathcal{C}^{1}$ vient d'une idée de D. Monclair.






  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Version un poil différente des autres.
  • Auteur :
  • Remarque :
    Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $f : \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$.
    Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    -- L'application $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}^n$.
    -- Pour tout $x\in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{D}_x f$ est inversible, et $\lim\limits_{\|x\|\to +\infty}{\|f(x)\|}=+\infty$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai modifié la démonstration de l'ouverture de s(R^n).
    Ne pas se fier au livre de Cartan pour l'énoncé de Cauchy-Lipschitz à paramètre.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Recasages : 203,204,214,215,220

    J'ai fini par faire une preuve maison adaptée du ZQ utilisant les fonctions de Liapounov ; tous les théorèmes utilisés sont cités et démontrés dans le fichier, mais sinon je crois que pendant mon oral de modé j'ai trouvé des trucs là dessus dans le Hubbard-West. La preuve du ZQ (pas la nouvelle édition) a beaucoup de soucis, apparemment c'est plus simple dans le Bernis, mais je m'y suis attachée, donc bon. Si on ne passe pas par les fonctions de Liapounov, faire des dessins pour la stabilité asymptotique.

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
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  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Développement que je trouvais plutôt compliquée et qui me prenais énormément de temps. Je triais les parties en fonction des leçons. Il y avait notamment la partie surjectivité que je traitais uniquement dans la leçon 203 (je pense qu'elle pourrait également être traitée en application des équations différentielles mais ces leçons étaient mes impasses). Le schéma au niveau de la surjectivité étaient essentiellement pour moi, pour bien comprendre ce qu'il se passe. Il aurait peut-être était pertinent de le présenter mais je ne le faisais pas par manque de temps.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette version est une preuve résumée. Son intérêt est de découper la preuve en étapes. Cela permet une présentation plus claire où les articulations logiques sont mieux expliquées.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 152 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 220 versions au total)
Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 55 versions au total)