(2017 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.)
Il s’agit d’une leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : Hölder, Carleman, Hadamard,... En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement « sous-matriciel » est souvent obscure ; on privilégiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
(2016 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications. )
Il s’agit d’une belle leçon, formulée ici dans la version qui sera adoptée pour la session 2017, qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : arithmético-géométrique, Hölder, Carleman, Hadamard, . . . En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement “sous-matriciel” est souvent obscure ; on priviligiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent.
Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
(2015 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.)
Il s'agit d'une belle leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d'attendre de lui des idées de démonstration de ces deux théorèmes fondamentaux. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle (notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons que les sous-variétés sont au programme.
(2014 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.)
Il s'agit d'une belle leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d'attendre de lui des idées de démonstration de ces deux théorèmes fondamentaux. On attend des applications en géométrie différentielle (notam- ment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons que les sous-variétés sont au programme.
