Leçon 214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

(2019) 214

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.) Il s’agit d’une leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formalisation de la méthode des multiplicateurs deLagrange. En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement « sous-matriciel » est souvent obscure ; on privilégiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : arithmético-géométrique, Hölder, Carleman, Hadamard,... $\\$ Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.

(2017 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.) Il s’agit d’une leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : Hölder, Carleman, Hadamard,... En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement « sous-matriciel » est souvent obscure ; on privilégiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
(2016 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications. ) Il s’agit d’une belle leçon, formulée ici dans la version qui sera adoptée pour la session 2017, qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d’attendre de lui des idées de démonstration des deux théorèmes fondamentaux qui donnent son intitulé à la leçon. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs inégalités classiques de l’analyse peuvent se démontrer avec ce point de vue : arithmético-géométrique, Hölder, Carleman, Hadamard, . . . En ce qui concerne la preuve du théorème des extrema liés, la présentation de la preuve par raisonnement “sous-matriciel” est souvent obscure ; on priviligiera si possible une présentation géométrique s’appuyant sur l’espace tangent. Pour aller plus loin, l’introduction des sous-variétés est naturelle dans cette leçon. Il s’agit aussi d’agrémenter cette leçon d’exemples et d’applications en géométrie, sur les courbes et les surfaces.
(2015 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.) Il s'agit d'une belle leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d'attendre de lui des idées de démonstration de ces deux théorèmes fondamentaux. Il est indispensable de savoir mettre en pratique le théorème des fonctions implicites au moins dans le cas de deux variables réelles. On attend des applications en géométrie différentielle (notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons que les sous-variétés sont au programme.
(2014 : 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.) Il s'agit d'une belle leçon qui exige une bonne maîtrise du calcul différentiel. Même si le candidat ne propose pas ces thèmes en développement, on est en droit d'attendre de lui des idées de démonstration de ces deux théorèmes fondamentaux. On attend des applications en géométrie différentielle (notam- ment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons que les sous-variétés sont au programme.

Plans/remarques :

2020 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Auteur :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup cette leçon. J'aurais peut-être dû ne pas faire de schéma du folium pour gagner de la place pour les autres schémas. Il faut être au point sur les preuves usuelles de la leçon (dont inversion locale !). Il aurait été bon que je mette plus d'exemples "pratiques" ou plus développés mais... j'avais besoin de place pour bien traiter la géo diff.
    Petits typos :
    -dans l'ex2, il faut préciser que les intervalles sont ouverts, et je ne parle pas d'un cercle mais d'un disque
    -dans mes propriétés 29 et 30, il est plus juste d'écrire "Localement, à difféomorphisme près" ou "A difféomorphismes locaux près" : il n'y a pas unicité du difféo...

    A propos des refs, Lafontaine traite très bien la géodiff et l'inversion locale. Objectif Agrégation est une perle pour les applications et les schémas. Rouvière est très bien pour les exemples et applications, mais je n'aime vraiment pas son formalisme dans le cours (il se perd dans des formulations analytiques au lieu de parler d'injectivité/surjectivité des différentielles...).

    En bref, une leçon très plaisante, où l'on a énormément de choses à dire - il ne faut pas trainer le jour J.
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2018 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2017 : Leçon 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.


2016 : Leçon 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2020 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Leçon choisie :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Autre leçon :

    223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème des fonctions implicites [no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1) Questions sur le dev (théorème des fonctions implicites)
    - Vérification que j'avais compris le calcul d'une différentielle dans mon dev
    - Pourquoi on pouvait "deviner" que la différentielle de la fonction implicite était de la forme proposée dans l'énoncé du théorème
    - Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue?

    2) Questions sur le plan
    - Et si dans le théorème des fonctions implicites on suppose que $f$ est plus régulière (par exemple de classe $C^k$), est ce qu'on a plus de régularité sur la fonction implicite $\phi$? ($\phi$ est de classe $C^k$ d'après l'expression de sa différentielle)
    - Justifier pourquoi exp (matricielle) est un difféomorphisme local en $0_n$ (classique)
    - Montrer que exp (matricielle) est dérivable partout (utiliser les théorème de dérivation des séries de fonctions)
    - Qu'est ce qu'un difféomorphisme global, quel est le lien avec les difféomorphismes locaux?
    - Donner un exemple de difféomorphisme local non difféomorphisme global (l'application $z \mapsto z^2$ où $z \ne 0$ est vu comme un complexe)
    - Illustrer le théorème des extremas liés par une figure (j'ai bidouillé une figure, ce n'était pas très convainquant, on est passé à la suite)

    3) Exercices
    - Soit $f$ une application $\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$ de classe $C^1$ telle que $\forall x \in \mathbf{R}^n, \forall y \in \mathbf{R}^n, ||f(x)-f(y)|| \geq ||x-y||$. Montrer que $f$ est un difféomorphisme global de $\mathbf{R}^n$ sur $\mathbf{R}^n$ (injectivité évidente, montrer que f est un difféomorphisme local en vérifiant que la différentielle est injective, en déduire que l'image de $f$ est ouverte, vérifier l'image est complète par des suites de Cauchy donc fermée, et enfin conclure que l'image est $\mathbf{R}^n$ tout entier par connexité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Attitude neutre, un tout petit peu d'aide

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Première fois que je présentais un résultat sur un tableau (candidat libre), j'ai rédigé de façon assez brouillonne le dev.

  • Note obtenue :

    19


2018 : Leçon 214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Leçon choisie :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Autre leçon :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de D'Alembert-Gauss par connexité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques petites questions sur le développement (on m'a demandé des précisions sur certains points). Ensuite, un juré a repris point par point chaque application du théorème des fonctions implicites se trouvant dans mon plan (que j'avais honteusement pompé du Madère), j'ai eu beaucoup de mal à répondre...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le juré qui a repris mes applications avait un ton légèrement cassant et ne m'aidait pas beaucoup lorsque je bloquais... Les deux autres étaient visiblement intéressés par ce que j'avais à raconter et m'ont posé beaucoup de questions et ne me laissaient pas sans rien faire au tableau. Globalement, l'expérience était positive.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais à disposition un tableau blanc (velleda). Sinon, rien à signaler.

  • Note obtenue :

    9