Développement : Lemme de Morse

Détails/Enoncé :

Soit $f : U \to \mathbb{R}$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ de classe $C^3$ telle que $0 \in U$, $df_0 = 0$, $d^2f_0$ soit non-dégénérée. On note $(p,n-p)$ la signature de $d^2f_0$. Alors à un $C^1$-difféomorphisme près on a

$$ f(x) = f(0)+ x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{n}^2 $$

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    Une application qui peut être proposée concerne la stabilité des systèmes newtoniens.

    Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine.
    Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait :
    \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation}


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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    Il y a une application au Folium de Descartes à la fin.
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    D'après moi pour les leçons : 151, 158, 170, 171, 214 et 215.

    Ma version du lemme préliminaire est assez fortement modifiée par rapport à celle de l'excellent livre de F. Rouvière.

    Une application relativement simple du lemme de Morse est la distance au plan tangent (exercice 111 p341 de la 4e édition du même ouvrage).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    On prend la preuve du Rouvière à l'envers, on éclaircis plusieurs points qui rendent la preuve opaque et l'on déroule ! J'ai volé cette version à une personne qui était avant moi en prépa agreg et j'ai jamais aussi bien compris le développement qu'en lisant sa version.

    Attention aux coquilles !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 136 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)