Développement : Lemme de Morse

Détails/Enoncé :

Soit $f : U \to \mathbb{R}$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ de classe $C^3$ telle que $0 \in U$, $df_0 = 0$, $d^2f_0$ soit non-dégénérée. On note $(p,n-p)$ la signature de $d^2f_0$. Alors à un $C^1$-difféomorphisme près on a

$$ f(x) = f(0)+ x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{n}^2 $$

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    Une application qui peut être proposée concerne la stabilité des systèmes newtoniens.

    Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine.
    Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait :
    \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation}


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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    Il y a une application au Folium de Descartes à la fin.
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