Leçon 206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse) (Rapport 2022) Cette leçon d'exemples sera pour le candidat l'occasion d'une réflexion sur de nombreuses parties du programme. En topologie, il s'agit bien sûr des propriétés spécifiques aux espaces normés de dimension finie, notamment l'utilisation des valeurs d'adhérence, l'équivalence des normes ou encore l'identité entre parties compactes et parties fermées et bornées. D'autres champs d'application sont : la théorie de la mesure (mesure de Lebesgue sur $R^d$), le calcul différentiel (utilisation de matrices jacobiennes, espaces tangents, extrema liés, etc.), les équations différentielles linéaires, les séries de Fourier et plus généralement l'approximation dans un espace préhilbertien séparable par projection sur des sous-espaces de dimension finie. Les candidats solides pourront aborder la question de l'unicité de la meilleure approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, ou les liens entre la régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire des fonctions rationnelles. D'autres pistes possibles sont l'étude des propriétés spectrales des opérateurs compacts, ou le théorème de Grothendieck sur les sous-espaces fermés de $L^p$ contenus dans $L^\infty$.

Développements :

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.