Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

F. Hirsch, G. Lacombe

Utilisée dans les 10 développements suivants :

Optimisation dans un Hilbert
Théorème de Lax-Milgram et une application
Théorème de Banach-Alaoglu
Projection sur un convexe fermé
Théorème de Stone-Weierstrass
Étude d'une norme dans un Hilbert
Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov
Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude
Propriétés des opérateurs compacts
Théorème de projection sur un convexe fermé

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Utilisée dans les 24 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Je recase ce développement dans 201, 203, 209 (c'est bon) et dans 228 (là c'est moins bon car ça dépasse le cadre réel... Il faut justifier par le fait qu'on l'utilise dans le cadre pour justifier la densité des fonctions polynômiales, des polynômes trigonométriques, des fonctions lipschitziennes, des fonctions affines par morceaux...) Il faut aussi insister sur les endroits où on utilise la continuité des fonctions.

    Même si tout est fait dans le Hirsch-Lacombe, ce développement mérite d'être bien travaillé pour vérifier si on a bien compris tous les arguments. Il faut aussi savoir comment on construit la suite de polynômes qui converge uniformément vers la valeur absolue sur $[-1;1]$. On utilise pour cela un théorème de Dini qu'il faut également savoir démontrer.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 82 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup la compacité, donc je me suis un peu éclaté en mettant des opérateurs compacts, le théorème de Montel et ses conséquences... On n'est évidemment pas obligé de mettre tout ça. Maintenant, comme c'est une leçon sur L'UTILISATION de la notion de compacité... Je pense qu'il faut en mettre un peu quand même !
    Par exemple Ascoli me semble incontournable ! Et si on met Ascoli... On peut bien mettre un peu d'opérateurs compacts ! Sachant qu'ici je n'ai mis que les choses de base sur ces objets, je ne suis pas allé vers la théorie spectrale.
    Attention avec la dimension finie à ne pas faire "le serpent qui se mord la queue"... Il faut d'abord montrer que les normes sont équivalentes en utilisant la compacité de la sphère qui se justifie par Bolzano-Weierestrass (et extraction diagonale) ! Puis on montre le théorème de Riesz...
    Si cela fait longtemps qu'on n'a pas trop manipulé de compacité, il convient de refaire quelques exercices car les arguments de compacité peuvent être parfois un peu futés...
    Une chose qu'il faut bien savoir justifier : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, la distance de tout élément de $E$ à $F$ est atteinte !
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  • Remarque :
    C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
    Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
    J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
    On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
    Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...
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