Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

F. Hirsch, G. Lacombe

Utilisée dans les 10 développements suivants :

Optimisation dans un Hilbert
Théorème de Lax-Milgram et une application
Théorème de Banach-Alaoglu
Projection sur un convexe fermé
Théorème de Stone-Weierstrass
Étude d'une norme dans un Hilbert
Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov
Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude
Propriétés des opérateurs compacts
Théorème de projection sur un convexe fermé

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

201 (2026) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2026) Espaces complets. Exemples et applications.
213 (2026) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
203 (2026) Utilisation de la notion de compacité.
209 (2026) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
219 (2026) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
253 (2026) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
239 (2026) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
228 (2026) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
208 (2026) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
234 (2026) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2026) Problèmes d’interversion de symboles en analyse.
206 (2026) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
161 (2026) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Utilisée dans les 25 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Je recase ce développement dans 201, 203, 209 (c'est bon) et dans 228 (là c'est moins bon car ça dépasse le cadre réel... Il faut justifier par le fait qu'on l'utilise dans le cadre pour justifier la densité des fonctions polynômiales, des polynômes trigonométriques, des fonctions lipschitziennes, des fonctions affines par morceaux...) Il faut aussi insister sur les endroits où on utilise la continuité des fonctions.

    Même si tout est fait dans le Hirsch-Lacombe, ce développement mérite d'être bien travaillé pour vérifier si on a bien compris tous les arguments. Il faut aussi savoir comment on construit la suite de polynômes qui converge uniformément vers la valeur absolue sur $[-1;1]$. On utilise pour cela un théorème de Dini qu'il faut également savoir démontrer.
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  • Développement :
  • Remarque :
    Un de mes développements les plus difficiles, et de loin. Au delà de la difficulté technique de la preuve et du théorème, il y a la difficulté à en trouver une application au niveau de l'agreg (pour être tombée dessus en oral blanc, il ne faut pas sous-estimer cette partie là). J'ai ajouté dans le poly un exemple d'utilisation, mais celui-ci dépasse largement le cadre de l'agreg en invoquant les espaces de Sobolev. Développement à choisir en toute connaissance de cause donc. La contrepartie, ce sont ses excellents recasages (voir sur le poly, j'ai indiqué 6 leçons dans lesquelles je le trouve très adapté).
    A mon avis, il convient d'éviter la version du Brézis qui est très obscure et suivre méthodiquement celle de Hirsch-Lacombe.
    N.B. Je ne traite que le sens indirect à l'oral, et c'est déjà bien comme ça. Il faut quand même savoir faire l'autre sens, mais il est plus facile.
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Utilisée dans les 83 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup la compacité, donc je me suis un peu éclaté en mettant des opérateurs compacts, le théorème de Montel et ses conséquences... On n'est évidemment pas obligé de mettre tout ça. Maintenant, comme c'est une leçon sur L'UTILISATION de la notion de compacité... Je pense qu'il faut en mettre un peu quand même !
    Par exemple Ascoli me semble incontournable ! Et si on met Ascoli... On peut bien mettre un peu d'opérateurs compacts ! Sachant qu'ici je n'ai mis que les choses de base sur ces objets, je ne suis pas allé vers la théorie spectrale.
    Attention avec la dimension finie à ne pas faire "le serpent qui se mord la queue"... Il faut d'abord montrer que les normes sont équivalentes en utilisant la compacité de la sphère qui se justifie par Bolzano-Weierestrass (et extraction diagonale) ! Puis on montre le théorème de Riesz...
    Si cela fait longtemps qu'on n'a pas trop manipulé de compacité, il convient de refaire quelques exercices car les arguments de compacité peuvent être parfois un peu futés...
    Une chose qu'il faut bien savoir justifier : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, la distance de tout élément de $E$ à $F$ est atteinte !
  • Références :
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  • Leçon :
  • Remarque :
    C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
    Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
    J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
    On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
    Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...
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  • Leçon :
  • Remarque :
    J'ai choisi dans cette leçon de rester autant que possible dans des espaces mesurés abstraits, car le fait de développer des théorèmes abstraits de théorie de la mesure trouve de nombreuses applications en probabilités, mais aussi en analyse (en permettant par exemple de démontrer de façon simplifiée des théorèmes tels que l'approximation par convolution). J'ai défendu ce point de vue dès l'introduction du plan. Le jury a très fortement apprécié ce choix, qui d'après lui était original, mais a bien insisté sur le fait qu'il faut absolument avoir plusieurs applications dans un cadre abstrait, sinon il est nettement préférable de se restreindre à $R^d$ muni de la mesure de Lebesgue.

    Le plan contient quelques erreurs mais le jury ne m'en a pas vraiment tenu rigueur car je les ai rapidement corrigée à l'oral à leur demande :
    - dans le théorème de Fubini, c'est une simple implication et non une équivalence ((i) implique (ii) et (iii))
    - je l'ai corrigé sur le scan, mais j'avais écrit $L^1$ ou lieu de $L^\infty$ dans le théorème 18.iii

    Le jury a choisi le développement 1, qui consiste en une preuve peu usuelle du théorème d'holomorphie sous l'intégrale à l'aide du critère Morera et de la formule de Cauchy, avec une application au problème de moments en probabilités (un exemple d'application concrète de la théorie des intégrales à paramètres dans les espaces sigma-finis donc). Il a beaucoup apprécié l'originalité du développement, et ne m'a pas reproché le fait qu'il soit beaucoup plus simple que le deuxième (théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). (Vous pouvez trouver le développement rédigé sur mon profil agreg maths ;))

    Voici les questions et éléments de discussion avec le jury dont je me souviens, pas forcément dans l'ordre. A la fin de ce (trop long) paragraphe, j'ai ajouté les éléments de réponse dont nous avons parlé avec le jury :
    1) énoncer le critère de Morera (utilisé pour le développement). Fonctionne-t-il quel que soit la nature de l'ouvert sur lequel est défini la fonction holomorphe ?
    2) dans la version proposée du développement, on n'a pas vraiment besoin que la loi de proba considérée soit à support compact. Donner une condition suffisante plus faible pour avoir le même résultat sans changer la démonstration.
    - Préciser l'application 23 (en particulier, en quoi est-ce un corollaire des théorèmes de régularisation ?)
    3) le théorème de Riesz-Fréchet-Kolomogorov (application 24) peut-il être mis en correspondance avec un autre critère de compacité ? En particulier, comment peut-on relier ses hypothèses à celles de cet autre théorème ? L'hypothèse (iii), dite d'équitension, se retrouve également en probabilités. Dans quel contexte ?
    4) Donner un exemple de "vraie" partie de $L^p$ pour laquelle on utilise le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov pour montrer qu'elle est compacte. (Remarque : le jury a bien signifié qu'il FAUT savoir répondre à cette question si on veut présenter ce théorème, et bien sûr, il ne faut pas se contenter d'une partie qui est trivialement compacte et dont l'étude ne nécessite donc pas ce puissant théorème)
    5) Donner des exemples de fonctions "concrètes" définies par une intégrale à paramètre, et qui ont de vraies applications en maths
    6) Dans le lemme de Fatou (lemme 3), l'inégalité peut-elle être stricte ? Si oui, donner un exemple.
    7) Démontrer le théorème 18.ii et 18.iii
    8) Dans l'exemple 16, que se passe-t-il si l'une des deux variables n'admet pas de densité ? Et si aucune des deux n'en admet ?

    En conclusion, je pense avoir fait objectivement un plan très difficile par rapport à ce qui est attendu dans cette leçon, et qu'il n'est pas du tout nécessaire d'aller aussi loin (ce qu'a confirmé le jury lors des retours). Le jury a tout de suite posé des questions assez difficiles, qui allaient chercher plus loin que le programme (voire beaucoup plus loin lorsque la discussion nous a mené aux espaces de Sobolev et à la convolution des mesures) ; si ce degré d'abstraction vous intéresse, il faut vraiment l'avoir bien préparé en amont, en particulier les applications concrètes de la théorie abstraite (mon jury ne se serait pas contenté d'applications qui exploitent uniquement la théorie contre la mesure de Lebesgue au vu de la manière dont j'ai écrit mon plan) : pour ça, les probas sont vos amies (puisqu'on y passe notre temps à intégrer contre des mesures affreuses) !


    Elements de réponse :
    1) Le critère de Morera est effectivement valide quelque soit l'ouvert. On le démontre d'abord pour un ouvert convexe, puis on utilise le fait que l'holomorphie est une propriété locale et que $\mathbb C$ est localement convexe.
    2) Il suffit que la loi de proba en question admette un moment gaussien, c'est-à-dire qu'il existe $\epsilon > 0$ tel que $\exp(\epsilon x^2)$ soit intégrable contre $\mu$. Cette amélioration permet notamment d'appliquer le résultat à la loi normale !
    3) Ce théorème fait penser au théorème d'Ascoli. L'hypothèse (ii) est un analogue $L^p$ de l'hypothèse d'équicontinuité, tandis que l'hypothèse (iii) permet de palier au fait que nos fonctions n'ont plus à être définies sur un compact (on s'y ramène alors grâce à cette hypothèse qui signifie que la masse des fonctions de H se dissipe uniformément à l'infini). L'hypothèse (iii), dans le cas des probabilités, est équivalente à la propriété d'uniforme intégrabilité, qui sert par exemple pour le théorème de Vitali (on la retrouve également dans l'énoncé du théorème de Prokhorov, mais je l'ai découvert après l'oral).
    4) Toute partie équitendue bornée dans l'espace de Sobolev $W^{1, p}$ (pour la norme Sobolev) est compacte pour la topologie $L^p$. Bien entendu, la notion d'espace de Sobolev est hors-programme, mais je n'ai sincèrement rien trouvé de plus simple comme vraie application du théorème de RFK. C'est sciemment que je ne l'ai pas indiquée dans le plan, pour éviter les questions trop directes sur les espaces de Sobolev. Cela dit, une fois que je l'ai introduit, le jury m'a demandé de préciser la définition de la norme Sobolev et d'amorcer la démonstration.
    5) J'ai répondu la fonction gamma (qui est dans le plan), la fonction zeta (qu'on voit comme une intégrale contre la mesure de comptage) et la fonction bêta (en précisant que je ne sais pas me servir de celle-ci, mais qu'elle apparaît au moins dans la définition de la loi bêta en probas)
    6) La bosse glissante dessinée en annexe donne un exemple où l'inégalité est stricte.
    8) Cela marche toujours, mais on obtient la convolution d'une fonction contre une mesure (dont j'avais sciemment évité de parler dans le plan). Quand aucune des deux variables n'est à densité, c'est une convolution entre deux mesures de probas (c'est ce que j'ai répondu, en ajoutant que j'en avais seulement entendu parler mais que je ne sais pas vraiment le définir, ce qui n'a pas gêné le jury puisque la question allait chercher beaucoup plus loin que mon plan).
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