Leçon 253 * : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

(2019) 253

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.) Il s’agit d’une leçon de synthèse, très riche, qui mérite une préparation soigneuse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n’est pas nécessairement attendu dans le plan. Il s’agit d’aborder différents champs des mathématiques où la convexité intervient. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d’optimisation (par exemple de la fonctionnelle quadratique), au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d’un convexe,...). Les fonctions convexes élémentaires permettent aussi d’obtenir des inégalités célèbres. On retrouve aussi ce type d’argument pour justifier des inégalités de type Brunn-Minkowski ou Hadamard. Par ailleurs, l’inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités. $\\$ Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d’uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $p>1$, par exemple, et de leurs conséquences.

(2017 : 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.) Il s’agit d’une leçon de synthèse, très riche, qui mérite une préparation soigneuse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n’est pas nécessairement attendu dans le plan. Il s’agit d’aborder différents champs des mathématiques où la convexité intervient. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d’optimisation (par exemple de la fonctionelle quadratique), au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d’un convexe,...). Les fonctions convexes élémentaires permettent aussi d’obtenir des inégalités célèbres. On retrouve aussi ce type d’argument pour justifier des inégalités de type Brunn-Minkowski ou Hadamard. Par ailleurs, l’inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités. Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d’uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $p > 1$, par exemple, et de leurs conséquences.
(2016 : 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. ) Il s’agit d’une leçon de synthèse, très riche, qui mérite une préparation soigneuse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n’est pas attendu dans le plan. Il s’agit d’aborder différents champs des mathématiques où la convexité intervient. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d’optimisation, au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d’un convexe,...). Les fonctions convexes élémentaires permettent aussi d’obtenir des inégalités célèbres. On retrouve aussi ce type d’argument pour justifier des inégalités de type Brunn-Minkowski ou Hadamard. Par ailleurs, l’inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités. Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d’uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $ p > 1$, par exemple, et de leurs conséquences.

Plans/remarques :

2020 : Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.


2018 : Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.


2017 : Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.


2016 : Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.


Retours d'oraux :

2020 : Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.

  • Leçon choisie :

    253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

  • Autre leçon :

    235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Projection sur un convexe fermé

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Dessinez ce que représente la caractérisation du projeté avec le produit scalaire dans le plan.
    - Vous dites que Ker(f) est fermé car f est une forme linéaire continue. Que se passe-t-il si f n'est pas supposée continue ? (il est dense dans H)
    - On travaille dans un espace vectoriel E quelconque, et on prends F de dimension finie. On prends F sev fermé. Le théorème s'applique-t-il toujours ? A-t-on toujours E = F (+) F^orthogonal ? (Le théorème ne s'applique pas puisque nous ne sommes pas dans un espace de Hilbert, mais le théorème reste vrai en prenant par exemple une base orthogonale de F et en caractérisant le projeté à l'aide du produit scalaire).
    - On admet l'inégalité, pour a et b réels, (|a|^4 + |b|^4)/2 - |(a+b)/2|^4 |>= |a-b|^4 / 16 (se démontre à la main avec le binôme). Montrez que l'existence du projeté sur un convexe est toujours vrai dans L^4 malgré le fait que ce dernier ne soit pas un Hilbert.
    Pour cela, on prends un convexe fermé C de L^4, et, comme pour la projection sur un convexe fermé, on prends (f_n) une suite minimisante la distance de f à C. Supposons dans un premier temps f = 0. On montre, puisque L^4 est complet par Riesz-Fisher, que (f_n) est de Cauchy, ce qui est direct par l'inégalité admise précédemment (en remarquant que |(f_p + f_q)/2|^4 =< d^4). Donc (f_n) converge, et on a la conclusion. Dans le cas général, on fait pareil, mais avec la suite g_n = f_n - f.
    - On considère l'ensemble E des fonctions de L² positives presque partout. Que dire de cet ensemble ? (il est convexe et fermé: convexe, c'est direct, fermé il faut introduire les ensembles induits par le "presque partout", et on utilise notamment le fait que si (f_n) converge dans L² vers f, on a une sous-suite qui converge presque partout). Le théorème de projection s'applique donc. Pour f un élément de L², quel est son projeté ? (le projeté est f_+ = max(0,f), ceci se prouve directement à l'aide de la caractérisation du projeté).
    - Soit K un compact de E evn. On pose E l'ensemble des x tels que pour tout f forme linéaire sur E, f(x) =< sup_K (f). Que peut-on dire sur E ? (c'est un convexe fermé).
    Il devait y avoir une suite à cet exercice, mais mon oral s'est terminé là-dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt distant, sans forcément être froid. Ils n'ont pas hésités à m'indiquer si mon intuition ou si mes pistes étaient intéressantes, afin de m'encourager à poursuivre dans cette direction.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est déroulé normalement (à part le fait que j'ai fais mon oral sur un tableau blanc).
    La note me semble curieuse, car je ne vois pas du tout comment j'aurais pu améliorer mon oral, mais bon. Je vais pas m'en plaindre hein !

  • Note obtenue :

    15.75