Développement : Processus de Galton-Watson (ou processus de branchement)

Détails/Enoncé :

Soit $(X^n_i)_{ i \ge 1, n \ge 1}$ une famille de variables aléatoires iid à valeurs dans $\mathbb{N}$. On définit $Z_0=1$ et $Z_{n+1} = \sum_{i=1}^{Z_n} X^{n+1}_i$ pour tout $n \ge 0$. On pose $m = E[X^1_1]$.

On suppose que $P(Z_1 = 1) \not=1$, alors

$$ \begin{cases}
P(Z_n =0) \to 1 \text{ lorsque } n \to +\infty \text{ si } m \le 1 \\
\exists c > 0 : P(Z_n > 0) \ge c, \forall n \ge 0 \text{ sinon }
\end{cases}$$

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