Leçon 206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.) Les applications aux équations différentielles sont importantes. Répétons que la maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz est attendue. Il faut préparer des contre-exemples pour illustrer la nécessité des hypothèses. Pour l'analyse de convergence des méthodes de point fixe, les candidats ne font pas suffisamment le lien entre le caractère localement contractant de l'opérateur itéré et la valeur de la différentielle au point fixe. La méthode de Newton, interprétée comme une méthode de point fixe, fournit un exemple où cette différentielle est nulle, la vitesse de convergence étant alors de type quadratique. L'étude de méthodes itératives de résolution de systèmes linéraires conduit à relier ce caractère contractant à la notion de rayon spectral. Il est envisageable d'admettre le théorème de point fixe de Brouwer et d'en développer quelques conséquences comme le théorème de Perron-Froebenius.

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Développements :

• Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
• Théorème de Cauchy-Lipschitz local
• Théorèmes de Kakutani et Massera
• Théorème d'inversion locale
• Théorème du point fixe de Brouwer
• Théorème de point fixe de Kakutani (par Hahn-Banach) [ref]
• Processus de Galton-Watson (ou processus de branchement)
• Méthode de Newton-Raphson
• Théorème de Lax-Milgram et une application
• Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :