Développement : Théorème de Lax-Milgram et une application

Détails/Enoncé :

Soit $H$ un espace de Hilbert. Soit $a$ une forme bilinéaire telle que

$ \exists M > 0, \forall u,v, |a(u,v)| \le M ||u|| \dot{} ||v|| $ (a est continue)

$\exists \nu >0, \forall u , a(u,u) \ge \nu ||u||^2 $ ($a$ est coercive)

Soit $l$ une forme linéaire continue.
Alors il existe un unique $u \in H$ tel que $\forall v \in H$, $a(u,v) = l(v)$.

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    Pour une application détaillée, consulter également la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

    Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que :
    -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$,
    -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$.
    Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème :
    \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}

  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Equations aux dérivées partielles et leurs approximations , Lucquin (utilisée dans 2 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 130 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 62 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 27 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
Analyse fonctionnelle, Gilles Lacombes, Pascal Massat (utilisée dans 5 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 25 versions au total)