Développement : Théorème de Lax-Milgram et une application

Détails/Enoncé :

Soit $H$ un espace de Hilbert. Soit $a$ une forme bilinéaire telle que

$ \exists M > 0, \forall u,v, |a(u,v)| \le M ||u|| \dot{} ||v|| $ (a est continue)

$\exists \nu >0, \forall u , a(u,u) \ge \nu ||u||^2 $ ($a$ est coercive)

Soit $l$ une forme linéaire continue.
Alors il existe un unique $u \in H$ tel que $\forall v \in H$, $a(u,v) = l(v)$.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Pour une application détaillée, consulter également la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

    Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que :
    -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$,
    -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$.
    Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème :
    \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}

  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Equations aux dérivées partielles et leurs approximations , Lucquin (utilisée dans 2 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 166 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses, F. Hirsch, G. Lacombe (utilisée dans 106 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 30 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 179 versions au total)
Analyse fonctionnelle, Gilles Lacombes, Pascal Massat (utilisée dans 5 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 36 versions au total)