Leçon 213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, etc.). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)$ et en justifiant la convergence. La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée. Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts peut être abordé.

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Développements :

• Optimisation dans un Hilbert
• Injection compacte dans les espaces de Sobolev
• Théorème ergodique de Von Neumann
• Théorème de Lax-Milgram et une application
• Échantillonage de Shannon
• Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
• Existence de l'espérance conditionelle

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :