Développement : Échantillonage de Shannon

Détails/Enoncé :

On pose $BL^2 = \{ u \in L^2(\mathbb{R}) : \widehat{u}_{| \mathbb{R}\setminus I} = 0 \}$ où $I = [ -1/2 , 1/2]$.

Alors
- $BL^2$ est un espace de Hilbert
- L'application $BL^2 \to l^2(\mathbb{Z})$ définie par $u \longmapsto (u(n))_{n \in \mathbb{Z}}$ est une isométrie.

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai rajouté une remarque sur le sous-échantillonage.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    La version du El Amrani me plaît davantage, j'ai rajouté également des remarques concernant ce que dit le rapport du jury sur ce théorème et sur le sous-échantillonnage, comme Mickael (j'ai détaillé un peu plus cela dit).
    Préparez-vous à user et abuser d'inversion de Fourier et de formules de Plancherel !
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Le développement est certes un peu long (pour un escargot comme moi^^), mais il mérite d'être travaillé pour rentrer dans les temps, il est tellement joli...! On montre ici la version $L^2$, qui utilise un max la théorie des espaces de Hilbert, et la transformée de Fourier $L^2$. Je trouve ce développement vraiment génial. On pourra éventuellement se renseigner sur les applications en théorie du signal. Je mets une référence, mais la version telle que je la donne ici est quand même assez différente, il vaut mieux connaître bien le développement.

    Côté recasages à mon avis:
    Espaces de fonctions
    Espaces de Hilbert
    Transformation de Fourier
    Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables
    Eventuellement espaces vectoriels normés, mais je pense qu'il y a mieux à y mettre...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Un développement qui mobilise tout plein d'arguments d'espace de Hilbert. Il faut être à l'aise avec la transformée de Fourier, notamment sur les spécificités de la transformée L2 et de la transformée L1, car on va jongler entre les deux.
    Je suis majoritairement la version de El Amrani, mais attention, il y a quelques coquilles dans sa preuve (rien de majeur, mais des constantes multiplicatives ont tendance à disparaître). Dans mon poly, je traite seulement le cas de l'intervalle [-1, 1] (El Amrani se place dans [-A, A]), ça ne change absolument rien mais ça évite de faire des erreurs de calculs (et croyez-moi, elles arrivent à la moindre inattention ici...)
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse harmonique réelle , Willem (utilisée dans 19 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 167 versions au total)
Analyse Complexe,, Mohammed El Amrani (utilisée dans 144 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Niveau M1, El Amrani (utilisée dans 8 versions au total)