Profil de JBernis

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Inscrit le :
02/05/2018
Dernière connexion :
28/05/2019
Inscrit à l'agrégation :
2016, option A
Résultat :
Admis, classé(e) 82ème

Ses versions de développements :

  • Développement :
  • Remarque :
    Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a$ soit strictement inférieur à $b$.
    Soit $C$ une courbe de $\mathbb{R}^2$ admettant un paramétrage $([a,b],f)$ vérifiant :
    -- $f(a)=f(b)$
    -- $f_{[a,b[}$ injective
    -- $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ et $f'$ ne s'annule pas.

    Soit $A$ l'unique composante connexe bornée définie par $C$. Alors on a :
    -- La longueur $L$ de la courbe $C$ vérifie : $$L^2 \geq 4\pi\lambda(A);$$
    -- $L^2 = 4\pi \lambda(A)$ si et seulement si $C$ est un cercle.


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Peut être présentée avec une application.

    Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs réelles, indépendantes, centrées. On suppose qu'il existe une suite de réels strictement positifs $(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on ait :
    $$|X_n|\leq c_n, \text{ presque sûrement.}$$
    On note $S_n=\sum_{k=1}^{n}{X_k}$. Alors, pour tout $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ et tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a :
    \begin{equation} \mathbb{P}(|S_n|>\varepsilon) \leq 2\exp\left(\frac{-\varepsilon^2}{2\sum_{k=1}^{n}{c_k^2}}\right) \end{equation}

    Référence (théorème et deux applications) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Une application qui peut être proposée concerne la stabilité des systèmes newtoniens.

    Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine.
    Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait :
    \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation}


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    L'application concerne la stabilité des systèmes newtoniens.

    Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine.
    Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait :
    \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation}


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé : Soit $(m_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $(\sigma^2_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}_+^{\mathbb{N}}$ deux suites de réels. Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires telle que: $$\forall n\in\mathbb{N},\; X_n\sim \mathcal{N}(m_n,\sigma^2_n)\text{ et }X_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal L} X,$$ où $X$ est une variable aléatoire RÉELLE.

    Alors $(m_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $m$, $(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel positif $\sigma $, et $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$.

    Si de plus $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X$, alors pour tout réel $r\geq 1$, on a la convergence :
    $$X_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathbb{L}^r(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})} X.$$

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$.
    Alors :
    -- Pour tout $n\in\mathbb{N}$,
    \begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}.
    \end{equation}
    -- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
    a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie :
    $$
    \forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t).
    $$
    -- Pour tout entier naturel $n$,
    $$
    B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}.
    $$

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}*}$ une suite de variables aléatoires discrètes, indépendantes et identiquement distribuées, dont la loi est définie par :
    $$ \mathbb{P}(X_1=1)=p, \mathbb{P}(X_1=-1)=1-p=q.$$
    La variable aléatoire $X_n$ représente, le gain du joueur à l'issue du $n^{\mathrm{e}}$ lancer, dans la mesure où la partie se déroule en au moins $n$ lancers.

    Pour un entier $k\in [\![0,a+A]\!]$, on définit la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ :
    $$ S_0=k, \;\;\; \forall n\in\mathbb{N}^*, S_n=k + \sum_{j=1}^{n}{X_j}.$$
    Si $S_0=a$ alors, avec la même réserve sur $n$, $S_n$ représentele capital du joueur après $n$ lancers de pièce.

    Enfin, on définit la variable aléatoire $T$, représentant la durée de la partie, par la relation :
    $$T= \mathop{\mathrm{inf}} \left\{n\in\mathbb{N} \;|\; S_n \in \{ 0, a+A \} \right\},$$
    en convenant que $\mathop{\mathrm{inf}}(\emptyset )=+\infty$.

    Énoncé : En prenant $S_0=a$,
    -- Le nombre de tours moyen pour que la partie s'achève est donné par les formules :
    si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= \frac{(a+A)\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+A}}-a}{p-q},$$
    si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= a\,A.$$
    -- Presque sûrement, le jeu se finit en un nombre fini de lancers : $$\mathbb{P}(T < + \infty)=1.$$
    -- La probabilité que le joueur gagne est donnée par les formules :
    si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A)=\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+A}},$$
    si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A) = \frac{a}{a+A}.$$


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que :
    -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$,
    -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$.

    Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème :
    \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé : Soit $f$ un élément de ${\mathcal C}_{{\rm pm},2\pi}$.

    Pour tout élément $r$ de $]0,1[$, la série de fonctions
    \[
    c_0 + \sum\limits_{n \ge 1} \left( {c_n \left( f \right){\mathop{\rm e}\nolimits} _n + c_{ - n} \left( f \right){\mathop{\rm e}\nolimits} _{ - n} } \right){r^n }
    \]
    converge normalement sur $\mathbb{R}$.

    Si $f_r$ désigne sa somme alors :
    -- $f_r$ converge simplement vers la régularisée $\tilde f$ de $f$ lorsque $r$ tend vers 1 par valeurs inférieures.
    -- Si $f$ est continue alors $ f_r$ tend vers $f$ lorsque $r$ tend vers $1^-$, uniformément en $x$ sur $\mathbb{R}$.


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Possibilité d'ajouter une des deux applications suivantes :

    Application 1 : Soit $p\in\, ]0,1[$. Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires réelles telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $Y_n$ suive la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Alors on a :
    $$ \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow[n\to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).$$


    Application 2 : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On étudie le modèle statistique $\left( \{0,1\}^n, \{\mathcal{B}(1,p)\}_{p\in\, ]0,1[}\right)$. Soit $X_n,\ldots,X_n$, un $n$-échantillon de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$, $p\in\,]0,1[$.
    Pour $\alpha\in\, ]0,1[$, déterminons un intervalle au niveau de confiance asymptotique $1-\alpha$ du paramètre d'intérêt $p$.

    Référence (également valable pour le TCL) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    201 203 205 228

    Énoncé : Soient $(K,\mathrm{d})$ un espace métrique compact et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C}(K,\mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty} \right)$ des fonctions continues sur $K$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
    -- La partie $\mathcal{A}$ est équicontinue et bornée.
    -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $f : \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$.
    Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    -- L'application $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}^n$.
    -- Pour tout $x\in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{D}_x f$ est inversible, et $\lim\limits_{\|x\|\to +\infty}{\|f(x)\|}=+\infty$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    201 205 208 213

    Énoncé :
    Cas d'un espace séparable : Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé séparable, et $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$, bornée pour la norme subordonnée. Alors il existe une extractrice $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ et $T$ élément de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$ telle que pour tout $x\in E$, $$\lim_{k\to +\infty} T_{\varphi(k)}(x)=T(x).$$
    Cas d'un espace de Hilbert : Soit $\left(H,\langle \cdot , \cdot\rangle\right)$ un espace de Hilbert, et $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite bornée d'éléments de $H$. Alors il existe une suite extraite de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui converge faiblement dans $H$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pour l'application.

    Énoncé :
    -- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
    $$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
    -- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
    l'ensemble
    $$
    \left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
    \right\}
    $$
    soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé dans le cas linéaire : Soit un entier $n\geq 1$, $A : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $b : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ deux applications continues. Soit $y_0\in\mathbb{R}^n$. Alors le problème de Cauchy suivant : \begin{align}
    \begin{cases}
    y' =A(t)y +b(t) \\
    y(0)=y_0
    \end{cases}
    \end{align}
    admet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pour une application détaillée, consulter également la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

    Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que :
    -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$,
    -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$.
    Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème :
    \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}

  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    201, 203, 205, 245.

    A compléter éventuellement avec une application.

    Énoncé : Soit $\Omega \subset \mathbb{C}$ un ouvert et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel $\mathcal{H}(\Omega)$ des fonctions holomorphes sur $\Omega$, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $\Omega$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
    -- Pour tout $K\subset \Omega$ compact, il existe une constante $M_K \in \mathbb{C}_+^*$ telle que, pour tout $f \in \mathcal{A}$, $\|f\|_{\infty, K}\leq M_K$.
    -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.


    Application : Il n'existe pas de norme sur l'espace vectoriel $\mathcal{H}(\Omega)$ qui définisse la même topologie que la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $\Omega$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Leçons : 223, 224, 262, 263.

    Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a :
    $$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)$$


    Énoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
    $$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$
    Alors on a :
    -- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$
    -- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé :
    -- Soient un réel $b>0$ et $f$ une application de $[0,b]$ dans $\mathbb{R}$.
    On suppose que :
    1. $f$ est continue;
    2. $f$ est à valeurs dans $[a,b]$;
    3. $f$ est croissante;
    4. pour tout élément $x$ de $]0,b]$, $f(x)$ strictement plus petit que $x$ et $f(0)=0$;
    5. Il existe un réel $\lambda>0$ et un réel $r>1$ tels que :
    $$ f(x) =x-\lambda x^r+\mathop{o}\limits_{x\to 0}\left(x^r\right).$$

    Pour tout $c\in\, ]0,b[$ la relation \begin{equation} u_0=c,\; \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{equation} définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à valeurs dans $]0,b[$, de limite $0$, de plus :
    $$ u_n \mathop{\sim}\limits_{n\to +\infty} \frac {K}{n^{\frac{1}{r-1}} },\hbox{ où } K=(\lambda(r-1))^{\frac{1}{1-r}}. $$

    -- Dans le cas particulier $f\;:\; x\longmapsto \ln(1+x),$ on a le développement asymptotique à deux termes :
    $$ u_n=\frac 2 n +\frac{2\ln(n)}{3n^2}+ \mathop{ o}\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{\ln n} {n^2} \right) .$$


    -- Soit $d \in \mathbb{R}_+$ la relation
    \begin{equation} v_0=d,\; \forall n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=v_n+\exp\left(-v_n^2\right) \end{equation} définit une suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui diverge vers $+\infty$. De plus :
    $$v_n \mathop{\sim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt{\ln n}.$$


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    On trouvera (en plus de l'énoncé classique) un énoncé et une preuve alternative (répondant à une question fréquemment posée par le jury) dans la référence :
    Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses.
    C'est une généralisation du résultat dans lequel on n'impose pas que le centre de l'ellipsoïde soit l'origine.

    Énoncé (Ellipsoïde affine de John-Loewner) : Soit $K$ un ensemble compact de $\mathbb{R}^N$ d'intérieur non vide. Alors il existe un et un seul ellipsoïde plein de volume minimal (NON NÉCESSAIREMENT CENTRÉ EN L'ORIGINE), qui contienne $K$.

  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé :
    -- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
    $$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
    -- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
    l'ensemble
    $$
    \left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
    \right\}
    $$
    soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé : Soit $f\in\mathcal{C}^1\left([0,\pi],\mathbb{R}\right)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Notons $K_f$ l'ensemble des éléments
    $$u\;:\:\begin{cases} [0,\pi] \times \mathbb{R}_{+} \longrightarrow \mathbb{R}, \\
    (x,t)\longmapsto u(x,t).
    \end{cases}$$
    de $\mathcal{C}\left([0,\pi] \times \mathbb{R}_+\right)$ qui vérifient :

    1.i. $\partial_x u$ et $\partial_t u$ existent et sont continues sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$,
    ii. $\partial^2_{x^2} u$ existe et est continue sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$,
    iii. pour tout réel $t\ge 0$, $u(0,t)=u(\pi,t)=0$,
    iv. pour tout $ (x,t)\in [0,\pi] \times\mathbb{R}_+^*$, $\partial_t u(x,t)=\partial^2_{x^2} u(x,t)$\,;

    2. Pour tout $ x\in[0,\pi]$, $u(x,0)=f(x)$.
    Alors $K_f$ est un singleton.

    Nous donnerons de plus l'expression de l'unique élément de $K_f$ sous forme de la somme d'une série d'applications.
  • Référence :

Ses plans de leçons :