Développement : Inégalité de Hoeffding

Détails/Enoncé :

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes centrées telles que $|X_n| \le c_n$ presque surement. Soit $S_n = \sum_{j=1}^n X_j$. Alors pour tout $\epsilon > 0$,

$$ P( |S_n| > \epsilon ) \le 2 \exp \left( - \frac{\epsilon^2}{2\sum_{j=1}^n c_j^2 } \right)$$

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  • Remarque :
    Peut être présentée avec une application.

    Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs réelles, indépendantes, centrées. On suppose qu'il existe une suite de réels strictement positifs $(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on ait :
    $$|X_n|\leq c_n, \text{ presque sûrement.}$$
    On note $S_n=\sum_{k=1}^{n}{X_k}$. Alors, pour tout $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ et tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a :
    \begin{equation} \mathbb{P}(|S_n|>\varepsilon) \leq 2\exp\left(\frac{-\varepsilon^2}{2\sum_{k=1}^{n}{c_k^2}}\right) \end{equation}

    Référence (théorème et deux applications) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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  • Remarque :
    L'intérêt de cette inégalité est son corollaire qui est une version alternative de la loi forte des grands nombres où on ne suppose rien sur la loi des $X_i$. L'indépendance et la borne suffisent pour garantir la convergence presque sûre.
    (p127)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 39 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 149 versions au total)