Leçon 229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

(2018) 229

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $||Ax-b||^2$ pourront illustrer agréablement cette leçon. Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.

(2016 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications. ) L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
(2015 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) Les propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle sont attendues. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\mathbb{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. Pour les candidats solides, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Pour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction.
(2014 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) Les candidats sont invités à réfléchir à l'incidence de ces notions en théorie des probabilités. La dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat important. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Pour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


2017 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


2016 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2016 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Inégalité de Hoeffding

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Beaucoup de questions sur le développement : des hypothèses que je n'avais pas précisées, quel type de convergence on a pour $S_n$ (convergence p.s.), cette convergence peut-elle être obtenue avec la loi forte des grands nombres, et même "A quoi sert votre développement ?" (j'ai comparé avec Bienaymé-Tchebytchev et parlé d'intervalle de confiance).

    - L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone est dénombrable. Quid de l'ensemble des points de non-dérivabilité ?
    Je n'avais aucune idée de la réponse, j'ai parlé de la fonction continue partout dérivable nulle part, en me disant que ça pouvait laisser penser que c'était plus délicat. (En fait il semblerait qu'elle soit dérivable presque partout)

    - $f$ dérivable est croissante ssi $f' >0$. Une condition plus faible ? (Heuu...) Est-ce qu'on peut remplacer dérivable par dérivable à droite et dérivée à droite positive ? En fait, elle est localement croissante à droite, du coup OK.

    - Existe-t-il une inégalité de convexité avec plus de 2 éléments ? (je l'avais oublié dans le plan...) Quelles sont les hypothèses et la preuve ? J'ai d'abord dis par associativité c'est facile, ça suffisait au jury sauf à la personne qui a posé la question, du coup on isole $\lambda_1 x_1$, on factorise artificiellement par $(1 - \lambda_1)$ l'autre terme (on évacue le cas où ça vaut zéro avant) puis récurrence. Elle m'a demandé plusieurs fois si j'étais sur, ce qui m'a un peu déstabilisé, alors que c'était bon.

    - Exercice : démontrer le théorème de Dini (toute suite de fonctions croissantes définies sur un segment convergeant vers $f$ continue converge en fait uniformément). Je ne me souvenais plus de la preuve, je dis qu'utiliser Heine pouvait être intéressant, je tente quelques trucs. Pas le temps de finir.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    La dame qui m'a acceuilli dans la salle a été un peu pénible pendant l'oral, elle me demandait sans cesse les hypothèses et semblait agacée (ça se comprend car souvent j'en oubliais ou je ne savais pas, par exemple la LGN) (Remarque : à la vue de la note, ils étaient effectivement agacés). Les deux autres membres du jruy étaient plutôt bienveillants et me laissaient réfléchir.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Tableau grand à feutres, la préparation ne dure pas trois heures le premier jour, car il faut le temps de comprendre l'organisation et de se repérer, du coup il faut se préparer à ce genre de trucs.

  • Note obtenue :

    10.25