Développement : Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité

Détails/Enoncé :

Théorème


La fonction $\Gamma$ est la seule fonction $f: \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ telle que $f(1) = 1$, $f(x+1) = xf(x)$ pour tout $x$ et $f$ est log-convexe (i.e. $\log(f)$ est convexe).


Je n'ai pas de référence complète pour la partie sur la convexité.
La première partie (convergence dominée) est trouvable dans Zuily-Queffélec : "Analyse pour l'agrégation", en version variable complexe, à la page 314

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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  • Remarque :
    Je crois qu'un sujet de Mines-Pont du début des années 2000 fait tout ça sous forme d'un problème, si quelqu'un retrouve l'année et la fillière, qu'il n'hésite pas, cela fera une "vraie" référence.
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  • Remarque :
    Une preuve de ce théorème est pp.14-15 du livre The Gamma function d'Emil Artin, que l'on peut voir ici : https://books.google.fr/books?id=c3R2BgAAQBAJ&pg=PA14#v=onepage&q&f=false
  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai indiqué Rombaldi comme référence (car cela m'arrangeait en termes de nombre de livres), mais la preuve présentée ici est issue du Rudin.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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  • Remarque :
    Pas mon développement préféré, mais que voulez-vous, il faut bien avoir des développements dans les leçons sur la convexité...

    Côté recasages à mon avis:
    Utilisation de la convexité en analyse
    Fonctions monotones fonctions convexes
    Etudes de fonctions usuelles et spéciales
    Fonction définie par une intégrale à paramètre

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Principes d'analyse mathématiques , Rudin (utilisée dans 3 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 90 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 602 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 18 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 90 versions au total)