Développement : Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité

Détails/Enoncé :

Théorème


La fonction $\Gamma$ est la seule fonction $f: \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ telle que $f(1) = 1$, $f(x+1) = xf(x)$ pour tout $x$ et $f$ est log-convexe (i.e. $\log(f)$ est convexe).


Je n'ai pas de référence complète pour la partie sur la convexité.
La première partie (convergence dominée) est trouvable dans Zuily-Queffélec : "Analyse pour l'agrégation", en version variable complexe, à la page 314

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

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  • Remarque :
    Je crois qu'un sujet de Mines-Pont du début des années 2000 fait tout ça sous forme d'un problème, si quelqu'un retrouve l'année et la fillière, qu'il n'hésite pas, cela fera une "vraie" référence.
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  • Remarque :
    Une preuve de ce théorème est pp.14-15 du livre The Gamma function d'Emil Artin, que l'on peut voir ici : https://books.google.fr/books?id=c3R2BgAAQBAJ&pg=PA14#v=onepage&q&f=false
  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai indiqué Rombaldi comme référence (car cela m'arrangeait en termes de nombre de livres), mais la preuve présentée ici est issue du Rudin.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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  • Remarque :
    Pas mon développement préféré, mais que voulez-vous, il faut bien avoir des développements dans les leçons sur la convexité...

    Côté recasages à mon avis:
    Utilisation de la convexité en analyse
    Fonctions monotones fonctions convexes
    Etudes de fonctions usuelles et spéciales
    Fonction définie par une intégrale à paramètre

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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  • Remarque :
    Le dev est au recto, lemmes et dessin au verso
    Réf : Rombaldi p.557 et 562
    Recasage : 228, 229, 239, 253

    Remarque : Développement sympa. Puisque connaître les propriétés de la fonction Gamma est indispensable, autant en proposer quelques unes en dev. Il est assez court, je vous conseille de bien prendre votre temps. Soyez incollable sur les questions que le jury vous posera : gamma est bien def, lisse, strictement positive, lien avec la fonction beta, formule d'Euler Gauss, stirling, méthode de Laplace etc...
  • Référence :
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Principes d'analyse mathématiques , Rudin (utilisée dans 4 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 139 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 777 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 40 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 96 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi (utilisée dans 21 versions au total)