Dernier rapport du Jury :
(2019 : 265 - Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.)
Cette leçon de synthèse doit permettre d’explorer de nombreux pans du programme. Les candidats se sont bien emparés de ce nouveau titre et en ont proposé des contenus et points de vue variés. Évidemment, la leçon ne doit pas se cantonner au seul champ des fonctions usuelles (logarithme, exponentielle, trigonométriques, hyperboliques et réciproques). Le jury attend surtout d’un agrégé qu’il soit en mesure de présenter rapidement les définitions et les propriétés fondamentales de ces fonctions, qu’il sache les tracer sans difficultés, qu’il puisse mener l’étude aux bornes de leur domaine, ainsi que discuter leurs prolongements éventuels, leurs développements de Taylor ou en série entière, leurs applications au calcul intégral, les équations fonctionnelles associées ou formules particulières, etc. Le jury n’attend pas un catalogue mais plutôt un choix pertinent et réfléchi, avec des applications en probabilité, convexité, études de courbes, ou autour des développements asymptotiques. Les déterminations du logarithme complexe peuvent tout à fait mériter une discussion approfondie dans cette leçon et donner lieu à des développements de bon niveau, pouvant aller jusqu’à leur interprétation géométrique. $\\$ Le domaine des fonctions spéciales est très vaste. Il faut absolument éviter l’écueil d’une taxonomie fastidieuse et dépourvue de motivation ; il vaut bien mieux se concentrer sur des exemples restreints, mais fouillés, par exemple une étude approfondie (d’une) des fonctions $\Gamma$, $\zeta$ ou $\theta$, leurs propriétés fonctionnelles, leurs prolongements, leur étude asymptotique aux bornes et les domaines d’application de ces fonctions. $\\$ Il y a donc bien des manières, très différentes, de construire valablement cette leçon. Par exemple,on peut bâtir un exposé organisé selon des problématiques et des techniques mathématiques : suites et séries de fonctions, fonctions holomorphes et méromorphes, problèmes de prolongement,développements asymptotiques, calculs d’intégrales et intégrales à paramètres, transformées deFourierou deLaplace, etc. Mais on pourrait tout aussi bien suivre un fil conducteur motivé par un domaine d’application : $\\$ — en arithmétique pour évoquer, par exemple, la fonction $\zeta$ et la distribution des nombres premiers, $\\$ — en probabilités où la loi normale et la fonction erreur sont évidemment incontournables maison peut aussi évoquer les lois Gamma et Bêta, les fonctions de Bessel et leurs liens avec la densité du $\chi^2$ non centrée et celle de la distribution de Von Mises-Fisher ou plus simplement comme la loi du produit de variables aléatoires normales et indépendantes, la loi $\zeta$ et ses liens avec la théorie des nombres,... $\\$ — en analyse des équations aux dérivées partielles où les fonctions spéciales interviennent notamment pour étudier le problème de Dirichlet pour le Laplacien ou l’équation des ondes, $\\$ — il est aussi possible d’évoquer les polynômes orthogonaux, leurs propriétés et leurs diverses applications, en physique (oscillateur harmonique et polynômes de Hermite), en probabilités (polynômes de Hermite pour les lois normales, de Laguerre pour les lois Gamma, de Jacobi pour les lois Bêta...), pour l’étude d’équations aux dérivées partielles ou pour l’analyse de méthodes numériques, $\\$ — en théorie des représentations de groupes avec les fonctions de Bessel, $\\$ — en algèbre en abordant les fonctions elliptiques et la fonction $\mathcal{P}$ de Weierstrass. $\\$ Là encore, le jury renouvelle sa mise en garde d’éviter de faire un catalogue qui s’avérerait stérile, il s’agit bien plutôt de se tenir à détailler l’un ou l’autre de ces points de vue. Cette leçon doit être l’occasion de montrer un véritable investissement personnel, adossé aux goûts du candidat.
