Leçon 265 : Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

(2020) 265

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 265 - Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.) Cette leçon de synthèse doit permettre d’explorer de nombreux pans du programme. Les candidats se sont bien emparés de ce nouveau titre et en ont proposé des contenus et points de vue variés. Évidemment, la leçon ne doit pas se cantonner au seul champ des fonctions usuelles (logarithme, exponentielle, trigonométriques, hyperboliques et réciproques). Le jury attend surtout d’un agrégé qu’il soit en mesure de présenter rapidement les définitions et les propriétés fondamentales de ces fonctions, qu’il sache les tracer sans difficultés, qu’il puisse mener l’étude aux bornes de leur domaine, ainsi que discuter leurs prolongements éventuels, leurs développements de Taylor ou en série entière, leurs applications au calcul intégral, les équations fonctionnelles associées ou formules particulières, etc. Le jury n’attend pas un catalogue mais plutôt un choix pertinent et réfléchi, avec des applications en probabilité, convexité, études de courbes, ou autour des développements asymptotiques. Les déterminations du logarithme complexe peuvent tout à fait mériter une discussion approfondie dans cette leçon et donner lieu à des développements de bon niveau, pouvant aller jusqu’à leur interprétation géométrique. $\\$ Le domaine des fonctions spéciales est très vaste. Il faut absolument éviter l’écueil d’une taxonomie fastidieuse et dépourvue de motivation ; il vaut bien mieux se concentrer sur des exemples restreints, mais fouillés, par exemple une étude approfondie (d’une) des fonctions $\Gamma$, $\zeta$ ou $\theta$, leurs propriétés fonctionnelles, leurs prolongements, leur étude asymptotique aux bornes et les domaines d’application de ces fonctions. $\\$ Il y a donc bien des manières, très différentes, de construire valablement cette leçon. Par exemple,on peut bâtir un exposé organisé selon des problématiques et des techniques mathématiques : suites et séries de fonctions, fonctions holomorphes et méromorphes, problèmes de prolongement,développements asymptotiques, calculs d’intégrales et intégrales à paramètres, transformées deFourierou deLaplace, etc. Mais on pourrait tout aussi bien suivre un fil conducteur motivé par un domaine d’application : $\\$ — en arithmétique pour évoquer, par exemple, la fonction $\zeta$ et la distribution des nombres premiers, $\\$ — en probabilités où la loi normale et la fonction erreur sont évidemment incontournables maison peut aussi évoquer les lois Gamma et Bêta, les fonctions de Bessel et leurs liens avec la densité du $\chi^2$ non centrée et celle de la distribution de Von Mises-Fisher ou plus simplement comme la loi du produit de variables aléatoires normales et indépendantes, la loi $\zeta$ et ses liens avec la théorie des nombres,... $\\$ — en analyse des équations aux dérivées partielles où les fonctions spéciales interviennent notamment pour étudier le problème de Dirichlet pour le Laplacien ou l’équation des ondes, $\\$ — il est aussi possible d’évoquer les polynômes orthogonaux, leurs propriétés et leurs diverses applications, en physique (oscillateur harmonique et polynômes de Hermite), en probabilités (polynômes de Hermite pour les lois normales, de Laguerre pour les lois Gamma, de Jacobi pour les lois Bêta...), pour l’étude d’équations aux dérivées partielles ou pour l’analyse de méthodes numériques, $\\$ — en théorie des représentations de groupes avec les fonctions de Bessel, $\\$ — en algèbre en abordant les fonctions elliptiques et la fonction $\mathcal{P}$ de Weierstrass. $\\$ Là encore, le jury renouvelle sa mise en garde d’éviter de faire un catalogue qui s’avérerait stérile, il s’agit bien plutôt de se tenir à détailler l’un ou l’autre de ces points de vue. Cette leçon doit être l’occasion de montrer un véritable investissement personnel, adossé aux goûts du candidat.

Retours d'oraux :

2019 : Leçon 265 - Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

  • Leçon choisie :

    265 : Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

  • Autre leçon :

    221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule des compléments

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le développement s'est bien passé, j'utilise dedans la théorie des fonctions holomorphes (théorème des résidus, prolongement analytique).

    - Le jury m'a alors demandé de définir ce qu'est une fonction holomorphe, j'ai manqué de précision, et ils attendaient celle avec le développement analytique.

    - Le jury m'a demandé des précisions sur mon développement, car j'avais mal énoncé la formule des compléments qui est valable sur C\Z et pas sur C\Z- comme je l'avais écrit.

    - Le jury m'a demandé de préciser le principe du prolongement analytique que j'utilisais. (Ne pas oublier la connexité), puis ils m'ont demandé de le prouver, j'ai donné les idées. À ce stade, j'ai eu l'impression que le jury n'était pas convaincu par mes réponses, car j'ai manqué de précision.

    - j'utilisais la convolution, il m'a été demandé de préciser comment je la définissais, et quand est-elle bien définie. J'ai d'abord dit qu'on l'écrivait pour les fonctions positives puis pour les fonctions L1, en passant par la valeur absolue. Le jury n'était pas convaincu, j'ai donc précisé ma définition en utilisant le théorème de Fubini.

    - Je parlais de détermination du logarithmique complexe sur C\R-, le jury m'a demandé ce qui changeait si je prenais une autre droite que R-. J'ai écrit la définition avec les arguments, ce qui n'a pas convaincu le jury, il m'ont donné l'exemple avec C\R+, j'ai alors dit que l'argument variait de 2pi quand on passait la droite R-, on est passé à autre chose.

    - Le jury m'a demandé à quoi servait la formule des compléments que j'avais démontré, notamment en ce qui concerne le sinus. J'ai parlé de produit Eulérien, ils m'ont demandé de deviner la formule avec la formule des compléments. J'ai essayer de partir de la formule d'Euler dans mon plan ce qui n'a pas fonctionné. Le jury m'a donné la série de terme général z/(n^2+z^2) pour n dans Z et z>0. Je n'ai pas compris pourquoi et le jury m'a ensuite donné la serie exp(-n^2z). J'ai dit que je pensais à la formule sommatoire de poisson, mais que je ne me souvenais pas de l'identité. On est passé à autre chose.

    Pour terminer, le jury m'a donné un exercice:
    Soit t --> P(t) continue, des matrices de taille n stochastiques vérifiant:
    P(s+t)=P(s)P(t)
    P(0)=Identité
    P est dérivable à gauche en 0
    La question était: que pouvez vous dire de ce système. Après un moment de réflexion, le jury m'a demandé de démontrer que t --> P(t) est dérivable en tout t. J'ai montré qu'elle l'était à gauche, puis avec un peu d'aide, à droite. Le jury m'a reposé la question du début, l'oral c'est terminé là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je connaissais assez bien les démonstrations internes à mon plan, mais pas assez ce qu'il y avait autour par manque de temps pour préparer cette leçon pendant l'année, je ne m'attendais pas à des questions aussi difficiles, mais c'est ce que mon plan amenait à faire. Je n'ai pas été assez convainquant et j'ai finalement répondu correctement à très peu de questions.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.