Développement : Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)

Détails/Enoncé :

Toute fonction $f:\mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+$ vérifiant
(a) $f(x+1)=xf(x)$ pour tout $x>0$
(b) $f(1)=1$
(c) $f$ est logarithmiquement convexe
est égale à la fonction $\Gamma$.

Dans la preuve, nous montrons en particulier la formule de Gauß
$$\Gamma(x) = \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{n^xn!}{(x+n)\ldots (x+1)x}$$
Le théorème de Bohr-Mollerup permet également de montrer sans calcul la formule de Legendre et celle reliant $\Gamma$ à la fonction Bêta.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques, Rombaldi (utilisée dans 14 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 70 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 87 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 549 versions au total)