Développement : Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)

Détails/Enoncé :

Toute fonction $f:\mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+$ vérifiant
(a) $f(x+1)=xf(x)$ pour tout $x>0$
(b) $f(1)=1$
(c) $f$ est logarithmiquement convexe
est égale à la fonction $\Gamma$.

Dans la preuve, nous montrons en particulier la formule de Gauß
$$\Gamma(x) = \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{n^xn!}{(x+n)\ldots (x+1)x}$$
Le théorème de Bohr-Mollerup permet également de montrer sans calcul la formule de Legendre et celle reliant $\Gamma$ à la fonction Bêta.

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