Elements d'analyse réelle

Rombaldi

Utilisée dans les 12 développements suivants :

Divergence de la série des inverses des nombres premiers
Étude de la fonction Gamma sur la droite réelle
Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
Théorème de Bohr Mollerup
Dunford pour le calcul de rayon spectral
Endomorphismes normaux
Minimisation d'une fonctionnelle quadratique
Inégalités de Young, Holder, Minkowsky et calcul de norme de l'injection de L1 dans Lp
Convergence d'une suite lente
Etude de la fonction Gamma et lemme d'Euler
Etude de la fonction Gamma et théorème de Bohr-Mollerup

Utilisée dans les 27 leçons suivantes :

228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
224 (2025) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
150 (2025) Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
127 (2025) Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
215 (2025) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.

Utilisée dans les 14 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    L'équivalent $\Gamma(x) \sim \sqrt{2\pi} ~x^{x-1/2} ~e^{-x}$ que j'utilise en cours de route s'obtient via la méthode de Laplace mais ma seule référence est un très bon cours... On peut se contenter de la méthode habituelle, que je trouve un peu moins élégante.
    Le résultat permet de montrer la formule de Legendre sans aucun calcul, ça vaut le coup de le mettre au moins dans le plan.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    On utilise un argument de probabilité pour montrer que la série des $\sum 1/{p_k}$ diverge. Je propose ensuite une application de ceci grâce au lemme de Borel-Cantelli. Deux références possibles pour la première partie : le Gourdon ou le Rombaldi. Je crois que je n'avais pas de référence pour l'application, mais ce n'est pas très difficile. J'admets ici que la fonction $\zeta$ diverge en $1^{+}$ mais je pense qu'il faut savoir le prouver pour présenter ce développement.

    Côté recasages à mon avis:
    Séries de nombres réels ou complexes
    VA discrètes
    Indépendance en proba
    Je suppose que mettre ce développement en algèbre dans la leçon "nombres premiers" est envisageable, mais je pense qu'il y a des choses intéressantes et plus algébriques à faire dans cette leçon.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Références :
  • Fichier :

Utilisée dans les 106 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, si ce n'est LA plus difficile. La difficulté provient vraiment du fait que la leçon s'appelle "Exemples de..." et que dans les références, on ne trouve pas 50000 exemples...
    Tant bien que mal avec le Gourdon et le Rombaldi d'analyse réelle, on peut faire quelque chose de potable...
    Je pense que mes développements rentrent bien dans la leçon, mais le plus effrayant ce sont les questions du jury qui peuvent être très vite calculatoires...
    Il faut mettre Taylor-Young et les développements limités, la partie III-3) est indispensable, parce que les DA servent souvent à ça...
    On pourrait aussi éventuellement parler de vitesse et d'accélération de convergence.
    Le prof qui a encadré la leçon nous a mis en garde sur une chose importante : un équivalent n'est PAS un développement asymptotique. A la base, j'avais mis la méthode de Newton en développement, mais à cause de cette remarque je ne pouvais plus la mettre... J'ai donc mis la formule d'Euler-Maclaurin qui demande un certain travail sur les polynômes de Bernoulli (en plus c'est que du calcul...) mais ça se recase dans la 230 et c'est bien connaître les polynômes de Bernoulli
  • Références :
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  • Leçon :
  • Remarque :
    Mon plan est très simple mais efficace (et facile à retenir !) La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité que je trouve assez difficiles contrairement à d'autres démonstrations. C'est souvent une utilisation "futée" de l'inégalité des pentes.
    L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global.
    Il faut savoir faire le lien entre ensemble convexe et fonction convexe : c'est l'épigraphe ! Il faut aussi absolument accompagner cette leçon d'une annexe avec des dessins, dans la mienne il n'y en a peut-être pas assez...
    Je me dis aussi qu'au vu du titre de la leçon, il faut savoir faire un lien entre les fonctions monotones et les fonctions convexe ; je pense qu'une bonne réponse à cette question peut se trouver dans le cadre des fonctions régulières...
    J'ai mis le processus de Galton-Watson car il se recase assez bien, on peut orienter ce qu'on démontre soit vers les probas soit vers la convexité (ou les deux si on va assez vite). Cependant, il me semble que le jury en a un peu marre de voir ce développement, donc si vous trouvez aussi bien ou mieux, n'hésitez pas ! Ce développement se trouve dans le Delmas, Modèle Aléatoires (je ne le trouve pas sur le site)
  • Références :
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  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon n'est pas des plus faciles à travailler... Du moins selon moi car je ne suis pas très doué en calcul...
    Sinon les choses se trouvent plutôt bien dans le Gourdon pour les méthodes directes, le Briane-Pagès pour les méthodes indirectes (ou le Li Intégration selon les préférences)
    J'ai mis quelques exemples quand même, mais peut-être pas assez... C'est ça aussi la difficulté des leçons "illustrer par des exemples..." ou "exemples de...", c'est qu'on sait qu'on doit mettre des exemples mais pas à quel point...
    Il me semble important de parler un peu de calcul approché. On peut même en parler plus que cela, mais je suis moyennement à l'aise avec l'analyse numérique donc j'ai mis le strict minimum. C'est bien de parler de Monte-Carlo je pense, même si on ne fait pas l'option A, c'est assez facile à comprendre (attention, avec Monte-Carlo, il faut penser à donner un intervalle de confiance !!!)

    En DEV1, j'ai mis l'étude de la fonction Gamma, qui fonctionne, mais je pense qu'on peut mettre à la place l'injectivité de la transformée de Fourier avec le calcul de la TF d'une Gaussienne et la formule d'échange, qui rentrerait peut-être mieux... C'est peut-être ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J.

    /!\ Après coup, j'ai légèrement modifié mon DEV2, je ne calculais pas cette intégrale mais une intégrale plus sophistiquée : $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{t^n}{1+t^{\alpha}}dt$ pour $n>\alpha+1>0$ par la même méthode (avec le théorème des résidus et un bon chemin... Il est dans le Tauvel). Il faut vraiment beaucoup s'entraîner sur un tel développement car c'est beaucoup de calcul et le jour J avec le stress et le temps limité, on peut vite s'embourber.
    Même si on ne fait pas un DEV qui utilise la méthode des résidus dans cette leçon, je conseillerais de bien réviser cette méthode pour cette leçon, je pense que le jury demandera forcément de calculer une intégrale de cette manière... On peut aussi rajouter dans le plan la formule et le théorème de Cauchy que j'ai oubliés !

    Finalement, je n'utilise pas le Queffelec d'analyse complexe dans cette leçon.
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  • Remarque :
    Leçon pas compliquée à faire, il suffit de suivre le El Amrani. En revanche, je pense qu'il faut faire pas mal d'exercices pour cette leçon car ce sont des notions qui sont de niveau L1-L2 et donc on n'a plus forcément les bons réflexes.
    Au départ mon 2e développement était sur les valeurs d'adhérence d'une certaine suite, mais je l'ai vite abandonné car je le trouvais trop compliqué. J'aurais donc fait le développement sur le théorème de point fixe, en le mettant dans la partie sur les suites de Cauchy.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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  • Remarque :
    Mon plan est assez basique et classique. Je suis tombé dessus le jour J.

    Voici quelques questions/exos que j'ai eu le jour J:
    - Soit E de dimension infinie et K un compact de E. Que pouvez-vous dire de l’intérieur de K ?
    - Qu’est-ce que vous pouvez dire de la distance d’un compact à un fermé ?
    - Est-ce qu’on pourrait montrer que la distance entre le compact et le fermé est strictement positive s'ils sont disjoints ?
    - On considère, dans l^1 muni de sa norme 1, l’ensemble des éléments vérifiant somme des n*|a_n| <= 1. Montrez qu’il est compact.
    J'ai eu 16.25

    J'utilise le Gourdon pour la majeure partie du plan, le Rombaldi pour certaines démos que le Gourdon ne fait pas.
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