DA de $\int_1^x \frac{e^t}{t} dt$

Lelang-Ferrand Arnaudiès: Analyse, Tome 2, page 176

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

J'ai mis beaucoup de temps à trouver un plan logique et bien construit pour cette leçon, cela a été fait en collaboration avec Tintin, et je pense qu'il est plutôt pas mal. On peut se dire que parler des fonctions circulaires avant l'exponentielle complexe n'est pas possible, mais en fait si, c'est d'ailleurs comme ça qu'on faisait en Sup, on montrait que cos et sin étaient dérivables en utilisant uniquement le cercle trigonométrique. Ceci soulève une remarque importante : selon l'ordre avec lequel on choisit de mettre les notions, il faut bien s'assurer qu'il n'y a pas d'incohérence, pas de "serpent qui se mord la queue", et qu'on sait à peu près tout démontrer dans cet ordre-là.
C'est pas mal de bosser la fonction Gamma en profondeur, de la définition jusqu'au tracé du graphe (qu'il faut savoir faire si on traite la fonction Gamma en DEV) en passant par son lien avec la fonction Beta (le plus rapide est de passer par la convolution).
Etudier la fonction zeta est aussi possible en DEV, la majorité des résultats se trouve dans le Gourdon, mais on peut approfondir avec le Zuily-Queffelec (même si personnellement je déconseillerais d'utiliser ce livre).
On peut étudier des fonctions encore plus sophistiquées, je pense à la fonction Digamma... On peut aussi s'intéresser au prolongement méromorphe de Gamma...
N'hésitez pas à tracer des graphes en annexe, j'aurais d'ailleurs dû ajouter celui de la fonction Gamma, les dessins sont toujours appréciés du jury.