Leçon 244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Fonction zeta et nombres premiers

• Formule des compléments

• Les fonctions spéciales vues par les problèmes, 517.5 : Groux, Soulat
• Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
• Analyse Complexe : Amar, Mathéron
• Calcul intégral : Candelpergher
• Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres : Tennenbaum
• Analyse : Gourdon
• Elements d'analyse réelle : Rombaldi
• Équations différentielles : Florent Berthelin
• Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels : Mohammed El Amrani
• Analyse numérique et équation différentielle : Demailly

Couplage un peu malchanceux pour moi, mais avec le livre "Les fonctions spéciales vues par les problèmes" je me disais que je serai armé

I - Fonctions usuelles de l’analyse réelle et complexe [Groux-Soulat, Tauvel, Amar-Mathéron,
Candelpergher]
1. Exponentielle, logarithme et fonctions circulaires.
2. Γ et ses proches voisins.
3. Liens avec les probabilités.
II - Séries de Dirichlet et un peu de théorie des nombres [Gourdon, Tenenbaum, Groux-Soulat,
Amar-Mathéron]
1. Généralités sur les séries de Dirichlet
2. ζ et les nombres premiers.
III - Fonctions spéciales de la physique et de l’analyse numérique [Berthelin, El Amrani, Demailly,
Rombaldi analyse réelle].
1. Polynômes orthogonaux et intégration numérique.
2. Liens avec la physique.

Je suis étonné de voir que le jury choisiss le développement le plus "facile", mais soit. Je stresse
un peu au début car je ne l’ai pas forcément refait au tableau et je n’ai pas vraiment eu le temps
de le revoir pendant ma préparation. J’ai également peur qu’il soit un peu trop court. Tant pis,
on y va. Je détaille au maximum pour pouvoir faire le plus long possible. J’ai une petite erreur
dans mon inégalité concernant la comparaison série-intégrale pour $\zeta$ mais je corrige vite. Je finis le développement en à peu près 12 minutes 30 mais je complète rapidement avec l’application au
fait qu’il n’y a pas de loi de probabilité sur $\left(\mathbb{N}^∗, \mathcal{P}\left(\mathbb{N}^∗\right)\right)$ telle que la proba d’être un multiple de
$k$ soit $1/k$. Ça dure au total 13 minutes 30.

Questions posées
I - Développement
1. Corriger une erreur : un +1 s’était transformé en −1, je corrige, pas de problème.
2. Réexpliquer pourquoi on a l’égalité :
\[
\mathbb{P}_s\left(\bigcap_{i = 1}^{n}\left(p_i\mathbb{N}^*\right)\right) = \mathbb{P}_s\left(\left(\prod_{i = 1}^np_i\right)\mathbb{N}^*\right).
\]
Je dis qu’en fait on a égalité des deux ensembles dans les proba car les pi étant des
nombres premiers distincts, ils sont premiers entre eux. Le monsieur du jury n’a pas
l’air de bien comprendre, du coup je dis "si p et q sont deux entiers qui divisent a,
alors le ppcm de p et q divise a et réciproquement". Le monsieur n’a toujours pas l’air
de comprendre, je réponds "c’est la définition du ppcm". Le monsieur demande alors
où est-ce qu’on utilise le fait qu’ils sont premiers distincts. Je dis alors que c’est pour
pouvoir dire que le ppcm c’est le produit. Il a l’air convaincu.

II - Plan
1. Remontrer comment on définit le logarithme avec l’argument. Je bugue un peu puis
je dis qu’on a une expression explicite avec du arccos. Ainsi, on a la continuité. Il me
demande maintenant pour l’holomorphie de Log. Là j’ai un éclair : il faut
utiliser les conditions de Cauchy-Riemann. Du coup j’écris en coordonnées dans $\mathbb{R}^2$ :
\[
\mathrm{log}(x+iy) = \frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right) + i\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)
\]
et je récupère Cauchy-Riemann. Cependant, dans mon calcul, j'avais modifié le terme
\[\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)
\]
en $\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$, ce qui faisait qu'on n'avait pas tout le monde (on récupère juste le demi-plan supérieur) je dis que si on fait le calcul avec arccos c'est pareil et sinon pour récupérer le bout manquant on peut dire que $\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ c'est $ \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{x}{y}\right)$. Il a l'air convaincu mais pas trop non plus.

2. Une question de la dame : j'ai mis dans mon plan que $\Gamma$ était log-convexe. Expliquer pourquoi. Bon pas de soucis, je réécris la définition d'être log-convexe et avec Hölder c'est plié. Maintenant : montrer la réciproque. Évidemment Bohr-Mollerup c'était la suite logique mais je l'avais pas mis dans le plan exprès parce que je le connaissais pas tant que ça. Bon en tous cas je dis juste qu'il suffit dans ce cas de montrer que, si $f$ est ma fonction log-convexe, $f = \Gamma$ sur $(0,1]$ et qu'on utilisait la limite suivante :
\[
\Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\ldots(x+n)}.
\]
Enfin j'ai écrit l'inégalité qui faisait marcher un peu :
\[
f(nx+(1-x)(n+1)) = f(n+1-x) \leqslant (n+1)^x n!.
\]
J'ai dit qu'on devait trouver un encadrement comme ça avec des suites équivalentes à celle qui tend vers $\Gamma$. Elle a dit oui et elle est passée à autre chose.

3. Dernière question sur le plan : j'ai mis que les séries de Dirichlet étaient holomorphes sur un demi-plan droit $\mathbb{H}_{\sigma_c}$ en disant que $\sigma_c$ était l'abscisse de convergence (et non pas de convergence absolue !) du coup il me demande comment montrer que c'est holomorphe sur ce demi-plan. Je dis qu'on utilise le théorème d'holomorphie sous la somme et du coup c'est là où ça coinçait que j'aie pas mis que c'était une abscisse de convergence absolue. Du coup je dis que c'est une erreur et tout mais ils me disent oui ok mais du coup quel type de convergence vous récupérez. Je sais pas s'il parlait de avec convergence absolue ou sans mais du coup je dis convergence simple. Il me corrige du coup je dis ah convergence uniforme sur tous compacts. Il me demande si on a mieux. Je dis ah oui convergence normale sur tous compacts. Il me dit c'est ça. Et il me demande comment on peut s'en sortir sans convergence absolue. Je propose comparaison série-intégrale mais c'est des complexes. Je réfléchis un peu, je dis "Euler-MacLaurin" il me dit "plus simple". Il me dit "c'est une série complexe semi-convergente". Du coup je dis "ah oui une règle d'Abel" il me dit oui c'est ça. On s'est arrêté là pour l'oral, mais avant cette question, un monsieur m'a posé un exercice :

III- Exercice
Démontrer l'inégalité de Heisenberg. Moi je suis content, c'est un de mes développements je fais ça sans hésiter. Je lui dis que je connais et tout et je balance la preuve. Après il me dit euh ok mais utilisez un résultat de votre plan. Je suis perplexe et je dis "euh les fonctions de Hermite peut-être ?" Il me dit oui c'est ça, du coup je fais le calcul en utilisant le fait que les fonctions de Hermite étaient des fonctions propres de Fourier. Au final j'y arrive pas trop et puis il me dit "nan mais faut montrer la version additive". Je suis en mode whaaat ? J'étais parti pour minorer :
\[
\left(\int_{\mathbb{R}}|xf(x)|^2\mathrm{d}x\right) \times \left(\int_{\mathbb{R}}|\xi\hat{f}(\xi)|^2\mathrm{d}\xi\right)
\]
mais le monsieur voulait me faire minorer :
\[
\left(\int_{\mathbb{R}}|xf(x)|^2\mathrm{d}x\right) + \left(\int_{\mathbb{R}}|\xi\hat{f}(\xi)|^2\mathrm{d}\xi\right)
\]
(En fait en utilisant le fait que $a^2+b^2 \geqslant 2ab$ c'est potentiellement trivial avec Heisenberg multiplicatif du coup) Mais bon du coup je me dis ok, faut le montrer avec les fonctions de Hermite et puisque c'est une base hilbertienne de $\mathrm{L}^2(\mathbb{R})$, avec Pythagore/Bessel-Parseval on récupère pour toute les fonctions de $\mathrm{L}^2(\mathbb{R})$. Du coup en fait, si $f$ est une fonction de Hermite, on récupère $\Vert xf \Vert_2^2 + \Vert f' \Vert_2^2$ (modulo la normalisation). Du coup bon je suis un peu bloqué et en fait c'est bon il fallait juste utiliser le fait que les fonctions de Hermite étaient des fonctions propres de l'oscillateur harmonique :
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \text{ }\forall x \in \mathbb{R},\quad -\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}h_n + x^2h_n(x) = (2n+1)h_n(x).
\]. Il me demande si je connais le nom de la quantité $\Vert xf\Vert_2^2 + \Vert f'\Vert_2^2$. J'hésite je réponds "ah c'est genre l'impulsion" il me dit "bon c'est l'énergie en fait" bon tant pis.

Le jury était très sympa et me mettait à l'aise : ils me laissaient boire quand je le voulais et étaient souriants. Par contre c'est perturbant de les voir perturbés.

Tout à fait. C'est une bonne chose qu'on ait véritablement 3 heures de préparation avec un peu de temps pour nous Sinon concernant la préparation, je pensais qu'on serait dans une grande bibliothèque en train de préparer la leçon, mais non, on est dans une salle de cours, au final ça a du sens. Concernant l'oral en lui-même, c'est exactement comme je l'imaginais. Par contre j'étais surpris de voir que le jury me demande de justifier autant certaines réponses. Très agréablement surpris par ma note au final, alors que je pensais au début que ma leçon était pas ouf ouf.

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265 : Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Formule des compléments

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Le développement s'est bien passé, j'utilise dedans la théorie des fonctions holomorphes (théorème des résidus, prolongement analytique).

- Le jury m'a alors demandé de définir ce qu'est une fonction holomorphe, j'ai manqué de précision, et ils attendaient celle avec le développement analytique.

- Le jury m'a demandé des précisions sur mon développement, car j'avais mal énoncé la formule des compléments qui est valable sur C\Z et pas sur C\Z- comme je l'avais écrit.

- Le jury m'a demandé de préciser le principe du prolongement analytique que j'utilisais. (Ne pas oublier la connexité), puis ils m'ont demandé de le prouver, j'ai donné les idées. À ce stade, j'ai eu l'impression que le jury n'était pas convaincu par mes réponses, car j'ai manqué de précision.

- j'utilisais la convolution, il m'a été demandé de préciser comment je la définissais, et quand est-elle bien définie. J'ai d'abord dit qu'on l'écrivait pour les fonctions positives puis pour les fonctions L1, en passant par la valeur absolue. Le jury n'était pas convaincu, j'ai donc précisé ma définition en utilisant le théorème de Fubini.

- Je parlais de détermination du logarithmique complexe sur C\R-, le jury m'a demandé ce qui changeait si je prenais une autre droite que R-. J'ai écrit la définition avec les arguments, ce qui n'a pas convaincu le jury, il m'ont donné l'exemple avec C\R+, j'ai alors dit que l'argument variait de 2pi quand on passait la droite R-, on est passé à autre chose.

- Le jury m'a demandé à quoi servait la formule des compléments que j'avais démontré, notamment en ce qui concerne le sinus. J'ai parlé de produit Eulérien, ils m'ont demandé de deviner la formule avec la formule des compléments. J'ai essayer de partir de la formule d'Euler dans mon plan ce qui n'a pas fonctionné. Le jury m'a donné la série de terme général z/(n^2+z^2) pour n dans Z et z>0. Je n'ai pas compris pourquoi et le jury m'a ensuite donné la serie exp(-n^2z). J'ai dit que je pensais à la formule sommatoire de poisson, mais que je ne me souvenais pas de l'identité. On est passé à autre chose.

Pour terminer, le jury m'a donné un exercice:
Soit t --> P(t) continue, des matrices de taille n stochastiques vérifiant:
P(s+t)=P(s)P(t)
P(0)=Identité
P est dérivable à gauche en 0
La question était: que pouvez vous dire de ce système. Après un moment de réflexion, le jury m'a demandé de démontrer que t --> P(t) est dérivable en tout t. J'ai montré qu'elle l'était à gauche, puis avec un peu d'aide, à droite. Le jury m'a reposé la question du début, l'oral c'est terminé là dessus.

Pas de réponse fournie.

Je connaissais assez bien les démonstrations internes à mon plan, mais pas assez ce qu'il y avait autour par manque de temps pour préparer cette leçon pendant l'année, je ne m'attendais pas à des questions aussi difficiles, mais c'est ce que mon plan amenait à faire. Je n'ai pas été assez convainquant et j'ai finalement répondu correctement à très peu de questions.

Pas de réponse fournie.