Développement : Théorème de Bohr Mollerup

Détails/Enoncé :

Rombaldi "exercices et pb corrigés" p 130

Recasages pour l'année 2024 :

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    Soit $f :\mathbb{R}^{+*}\rightarrow\mathbb{R}^{+*}$ logarithmiquement convexe telle que $f(1)=1$ vérifiant l'équation fonctionnelle
    $$\forall x>0,~f(x+1)=x\cdot f(x).$$
    Alors $$f=\Gamma.$$

    Il est de renverser le plan de démonstration : montrer l'existence puis l'unicité, et déduire le lemme de l'unicité. Mais le lemme permettait de rajouter de la matière dans le développement.
    Il est possible de démontrer que $\Gamma$ est logarithmiquement convexe directement avec l'inégalité de Hölder, sans dérivation.
    On peut conclure le développement par un tracé approximatif de $\Gamma$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ à l'aide de ses valeurs sur les entiers et de sa convexité. Le théorème permet intuitivement de justifier que ce tracé approximatif n'est pas très éloigné de la courbe exacte.
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    L'équivalent $\Gamma(x) \sim \sqrt{2\pi} ~x^{x-1/2} ~e^{-x}$ que j'utilise en cours de route s'obtient via la méthode de Laplace mais ma seule référence est un très bon cours... On peut se contenter de la méthode habituelle, que je trouve un peu moins élégante.
    Le résultat permet de montrer la formule de Legendre sans aucun calcul, ça vaut le coup de le mettre au moins dans le plan.
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    Je présente le théorème de Bohr Mollerup, et l'applique pour montrer la formule de duplication de Legendre, que j'applique pour calculer l'intégrale de Raabe. Ca rentre donc dans la leçon de calcul d'intégrales, et ça se présente super bien. Bref, top!


    Le théorème est dans le Rudin. Pour les applications, je n'ai pas de référence, mais ça s'apprend bien / ça doit se trouver.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 57 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 60 versions au total)