Développement : Théorème de Bohr Mollerup

Détails/Enoncé :

Rombaldi "exercices et pb corrigés" p 130

Recasages pour l'année 2024 :

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    Soit $f :\mathbb{R}^{+*}\rightarrow\mathbb{R}^{+*}$ logarithmiquement convexe telle que $f(1)=1$ vérifiant l'équation fonctionnelle
    $$\forall x>0,~f(x+1)=x\cdot f(x).$$
    Alors $$f=\Gamma.$$

    Il est de renverser le plan de démonstration : montrer l'existence puis l'unicité, et déduire le lemme de l'unicité. Mais le lemme permettait de rajouter de la matière dans le développement.
    Il est possible de démontrer que $\Gamma$ est logarithmiquement convexe directement avec l'inégalité de Hölder, sans dérivation.
    On peut conclure le développement par un tracé approximatif de $\Gamma$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ à l'aide de ses valeurs sur les entiers et de sa convexité. Le théorème permet intuitivement de justifier que ce tracé approximatif n'est pas très éloigné de la courbe exacte.
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    L'équivalent $\Gamma(x) \sim \sqrt{2\pi} ~x^{x-1/2} ~e^{-x}$ que j'utilise en cours de route s'obtient via la méthode de Laplace mais ma seule référence est un très bon cours... On peut se contenter de la méthode habituelle, que je trouve un peu moins élégante.
    Le résultat permet de montrer la formule de Legendre sans aucun calcul, ça vaut le coup de le mettre au moins dans le plan.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 50 versions au total)