Développement : Théorème de Bohr Mollerup

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Rombaldi "exercices et pb corrigés" p 130

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    Soit $f :\mathbb{R}^{+*}\rightarrow\mathbb{R}^{+*}$ logarithmiquement convexe telle que $f(1)=1$ vérifiant l'équation fonctionnelle
    $$\forall x>0,~f(x+1)=x\cdot f(x).$$
    Alors $$f=\Gamma.$$

    Il est de renverser le plan de démonstration : montrer l'existence puis l'unicité, et déduire le lemme de l'unicité. Mais le lemme permettait de rajouter de la matière dans le développement.
    Il est possible de démontrer que $\Gamma$ est logarithmiquement convexe directement avec l'inégalité de Hölder, sans dérivation.
    On peut conclure le développement par un tracé approximatif de $\Gamma$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ à l'aide de ses valeurs sur les entiers et de sa convexité. Le théorème permet intuitivement de justifier que ce tracé approximatif n'est pas très éloigné de la courbe exacte.
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