Théorème de Sharkovski

Un joli résultat qui ne présente pas de difficultés, et s'expose bien. Me contacter si vous repérez des coquilles!

Les idéaux premiers de K[X,Y]

Fait dans le Francinou Gianella bleu, mais c'est fait très vite. J'ai essayé de rajouter ici les détails manquants. Une fois que tout est bien compris, le Francinou Gianella suffira le jour J pour s'en sortir! N'hésitez pas à me prévenir si il y a des coquilles.

Réductibilité des polynômes cyclotomiques

Et voici ma version! Je le fais sur F_q en général, et propose des applications. J'aime beaucoup ce développement, je recommande, que ce soit pour le présenter ou pour réviser les corps finis/les polynômes sur les corps finis.

Il y a peut être des erreurs. Tout est bien fait dans le Escoffier. N'hésitez pas à me contacter pour toute remarque.

Théorème de Bohr Mollerup

Je présente le théorème de Bohr Mollerup, et l'applique pour montrer la formule de duplication de Legendre, que j'applique pour calculer l'intégrale de Raabe. Ca rentre donc dans la leçon de calcul d'intégrales, et ça se présente super bien. Bref, top!


Le théorème est dans le Rudin. Pour les applications, je n'ai pas de référence, mais ça s'apprend bien / ça doit se trouver.

Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

On démontre l'inversion dans la classe de Schwarz avec des méthodes d'analyse fonctionnelle originales. Ca se présente bien, c'est très joli. Très bien fait dans la référence. N'hésitez pas à me contacter pour toutes questions ou remarques.

Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Je suis passé en avril en oral blanc dessus. Ce plan a donc été fait en temps limité (1h30 sur le plan, le reste sur le dev). Le jury m'a dit que la partie sur l'équirépartition était superflue. Je suis assez d'accord, si j'étais repassé dessus j'aurai mis plus de résultats sur les entiers algébriques, et j'aurai mis le théorème de Burnside (les groupes de cardinal p^aq^b sont résolubles) en développement. Globalement le plan est béton je pense; il m'a valu un 18. Je vais voir pour le taper en LaTeX pour une meilleure lisibilité...
Si ça peut servir : voilà les questions que j'ai eu. Je saute celles sur le dev.
On m'a fait étudier l'anneau des décimaux, qui est principal, et on m'a fait déterminer ses inversibles.
On m'a demandé le lien entre Z[isqrt(2)] et Q[isqrt(2)] (anneau des entiers), et si c'était toujours comme ça (ça dépend de d mod 4)
On m'a demandé pourquoi j'appelais mon stathme N dans mon développement : c'est la norme de l'extension Q[isqrt(2)] sur Q. On m'a demandé ce que je savais là dessus.
On m'a demandé si culturellement je savais quels étaient les noms associés à la transcendance de e.
On m'a demandé de prouver que les nombres algébriques formaient un corps algébriquement clos.
On m'a fait déterminer les triplets pythagoriciens de la forme (n,n+1,m).
Et peut être d'autres choses que j'ai oublié!
N'hésitez pas à me contacter pour toute remarque ou question.

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Version manuscrite; ce plan a été fait en oral blanc en 1h30. Peut être aurais-je un jour l'occasion de le taper. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!