Leçon 127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 127 - Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.) Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème des nombres et des corps de nombres utilisés en algèbre ou en géométrie. L'objectif n'est pas d'en présenter le plus possible, mais plutôt d'en choisir certains, suffisamment variés, en en expliquant la genèse et en soulignant leur intérêt par des applications pertinentes. Les nombres décimaux, dyadiques, etc. fournissent des ensembles de nombres dont l'étude, si elle est accompagnée d'applications pertinentes, a sa place dans cette leçon. Les questions d'approximation diophantienne et leur lien avec les fractions continues, sans toutefois être un attendu de la leçon, entrent dans la suite logique de ce type de considération. Le corps des nombres algébriques, ainsi que certains de ses sous-corps particuliers, comme celui formé par l'ensemble des nombres constructibles ou des sous-anneaux formés par certains ensembles d'entiers algébriques constituent des pistes d'étude. Les candidates et candidats qui maîtrisent ces notions pourront aussi s'aventurer du côté des nombres de Pisot. La transcendance de π et celle de e sont des résultats à connaître, et le candidat pourra en donner des applications s'il le désire, mais les démonstrations de ces résultats non triviaux ne sont pas exigibles. L' irrationalité de nombres remarquables ($\sqrt{2}$, nombre d'or, $e$, $\pi$ peut être abordée. Étudier les propriétés algébriques de certains ensembles de nombres (par exemple du type $\mathbb{Z}[\omega]$ où $\omega$ est un nombre algébrique) peut être une piste intéressante et mener à des applications en arithmétique. L'utilisation des nombres complexes ou, pour aller plus loin, des quaternions, en géométrie ou en arithmétique constitue aussi une piste exploitable pour cette leçon.

Plans/remarques :

2024 : Leçon 127 - Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Je suis passé en avril en oral blanc dessus. Ce plan a donc été fait en temps limité (1h30 sur le plan, le reste sur le dev). Le jury m'a dit que la partie sur l'équirépartition était superflue. Je suis assez d'accord, si j'étais repassé dessus j'aurai mis plus de résultats sur les entiers algébriques, et j'aurai mis le théorème de Burnside (les groupes de cardinal p^aq^b sont résolubles) en développement. Globalement le plan est béton je pense; il m'a valu un 18. Je vais voir pour le taper en LaTeX pour une meilleure lisibilité, mais par rapport à mes autres plans je le trouve assez lisible!
    Si ça peut servir : voilà les questions que j'ai eu. Je saute celles sur le dev.
    On m'a fait étudier l'anneau des décimaux, qui est principal, et on m'a fait déterminer ses inversibles.
    On m'a demandé le lien entre Z[isqrt(2)] et Q[isqrt(2)] (anneau des entiers), et si c'était toujours comme ça (ça dépend de d mod 4)
    On m'a demandé pourquoi j'appelais mon stathme N dans mon développement : c'est la norme de l'extension Q[isqrt(2)] sur Q. On m'a demandé ce que je savais là dessus.
    On m'a demandé si culturellement je savais quels étaient les noms associés à la transcendance de e.
    On m'a demandé de prouver que les nombres algébriques formaient un corps algébriquement clos.
    On m'a fait déterminer les triplets pythagoriciens de la forme (n,n+1,m).
    Et peut être d'autres choses que j'ai oublié!
    N'hésitez pas à me contacter pour toute remarque ou question.

  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon assez compliquée à préparer, mais pas impossible. Faire l'impasse dessus serait prendre un risque inutile.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Retours d'oraux :

2024 : Leçon 127 - Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

  • Leçon choisie :

    127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

  • Autre leçon :

    142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Q: pourquoi y’a t’il (p-1)/2 carrés dans Fp?
    A: preuve en considérant x→x^2 morphisme de groupe puis premier théorème d’isomorphimse avec le noyau et l'image de l’application
    Q: Vous savez faire la division euclidienne de 5+2i par 2+i (c'étaient pas ces complexes là mais osef)
    A: oui je sais faire ! Bon j’ai fait une erreur de calcul (la norme au carré de 2+i c’est 5, pas 3…) mais ils m’ont dit “vérifiez votre denominateur” et à part ça je connaissais la méthode
    Q: vous savez prouver le lemme sur les isomorphismes d’anneaux que vous admettez?
    A: oui, je fais la preuve que j’avais revue au brouillon. Pareil, théorème d’isomorphimse
    Q: pourquoi Z[X]/(X^2 +1) est isomorphe à Z[i]?
    A: on envoie i sur X. Il faut expliciter le morphisme car Z n’est pas un corps donc les histoires de corps de rupture ça marche pas.
    Q: est-ce qu’il y a une infinité d’irréductibles dans Z[i]?
    A: il faut montrer qu’il y a un infinité de nombre premiers congrus à 3 modulo 4. Il y a une infinité de nombre premiers congrus à n’importe quoi modulo n’importe quoi… euh non pardon c’est faux ce que je viens de dire, surtout pas !...mais 3 et 4 sont premiers entre eux donc ça marche
    Q : vous savez prouver qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à 3 mod 4
    A: je bafouille un truc sur les corps finis avant d’admettre que je sais pas.
    Q: Ok, passons à la suite. Dans le plan vous affirmez que ll'ensemble des nombres algébriques sur un corps K est un corps, vous savez le prouver?
    A: on considère K(x,y) pour x et y algebriques et on montre que c’est une extension de degré fini de K qui contient x/y et x-y
    Q: quel est le degré de la racine 4eme de 2 sur Q?
    A: j’essaie un truc par multiplication de degrés d’extensions, sans succès
    Q: cherchez plutôt un polynôme minimal sur Q.
    A: X^4-2 polynôme annulateur, je veux qu’il soit irréductible…euh…ahah! C’est le critère d’eisenstein avec p=2

    Q: Vous savez prouver votre théorème de caractèrisation des éléments algebriques sur un corps ?
    A: oui. Je refais (une partie, ils ont pas voulu voir toutes les implications sinon c’est très long) la preuve, c'était pas parfaitement fluide mais je m'en suis sortie assez vite
    Q: pourquoi ça existe un polynôme minimal
    A: on considère l'idéal des polynômes qui annulent a algébrique, c'est un idéal dans K[X] on prend son générateur c’est le polynôme minimal
    Q: pourquoi on peut faire ça ?
    A: car K[X] est principal
    Q:Pourquoi ?
    A: car K est un corps
    Q: pourquoi le polynôme minimal est irréductible?
    A: par l’absurde, s’il était réductible on aurait un facteur de degré plus petit qui annulerait a ce qui contredirait la minimalité
    Q: C’est quoi le degré de R sur Q?
    A: infini. On prend un transcendant x dans , [Q(x): Q] de degré infini puis base télescopique avec la convention infini x infini= infini
    Q: comment on sait qu’il existe des nombres transcendants dans R?
    A: l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable, R est Indénombrable.
    Q: votre application 12.5 mise à la fin du plan avec une astérisque là, C privé d’un nombre dénombrable de points est connexe par arcs, c'est une application de quoi?
    A: oui pardon je l’ai rajoutée à la fin: c'est une application du fait que R est Indénombrable
    Q: vous savez le montrer?
    A: OUI ! J’ETAIS TROP CONTENTE ! C’EST MA PREUVE PRÉFÉRÉE DE TOUTE L'ANNÉE !
    Q: vous affirmez que Z[(1+i racine (19))/5] n’est pas euclidien comment vous le prouvez?
    A: euh …par l’absurde… je crois qu’on contredit l'irrationalité de racine(19) mais je ne me rappelle plus des détails
    Q: vous avez un exemple de Z[w] qui ne soit pas principal?
    A: c'est un sous anneau de C qui lui est principal…
    Q: ça va nous aider ça ?
    A: bah je me dis que je peux chercher un idéal de mon Z[w] tel que son générateur dans C ne soit pas dans Z[w]...
    Q: on va plutôt en trouver un qui ne soit pas factoriel. Vous avez une idée du choix de w?
    A:non
    Q: w=iracine(5)
    A: ahhhh oui ! Bon supposons qu’il n’est pas factoriel…(hésitation, je sais plus par où partir)
    Q: ça veut dire quoi qu’il n’est pas factoriel ?
    A: on n’a pas d’unique décomposition en irréductibles. Ah! Donc on va chercher un elt qui a deux décompositions distinctes en irréductibles
    Q: prenez 6
    A: bon déjà 6=2 * 3. Ensuite…(1+iracine(5))(1-iracine(5)). Il faut montrer que les éléments qu’on vient de voir sont irréductibles. Je m’en sors par un raisonnement que la norme d’arithméticiens. Ensuite je m’embrouille à essayer d’expliquer de 2 et 3 ne divisent pas (1+iracine(5))(1-iracine(5) (je me rends compte maintenant que j’aurais pu le déduire de l’irréductibilité). Le jury m’empêche de m’embourber plus.
    Q: et donc ?
    A: donc Z[iracine(5)] n'est pas factoriel
    Q: donc il n’est pas…
    A: principal
    Q: donc il n’est pas…
    A: euclidien
    Q: Ok, c'est presque la fin…Vous définissez e comme la somme des 1/(n!), pourquoi cette somme est définie?
    A: on regarde la série entière exponentielle des x^n/(n!) et on montre qu'elle a un rayon de CV infini. C'est parce que n!/ (n+1)! tend vers 0, c’est le critère de … Cauchy ou d’Alembert je sais plus. Cauchy je crois. Du coup la série est bien définie sur R et donc en particulier en 1
    Q: vous savez montrer que l’ensemble des suites à valeur dans {0,1} est Indénombrable ?
    A: oui , c'est encore l’argument diagonal de Cantor
    Q: ok c'est terminé

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu un gros trou de mémoire sur un détail dans mon développement. Je suis passée à la suite et suis revenu dessus à la fin.
    Je n'ai eu aucune question sur les nombres constructibles alors que j'imaginais en avoir.
    Il faisait vraiment très chaud.

  • Note obtenue :

    18


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Théorie des nombres, Daniel Duverney (utilisée dans 6 versions au total)
Invitation à l'algèbre, Alain Jeanneret et Daniel Lines (utilisée dans 7 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 376 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 22 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 301 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 44 versions au total)
Théorie de Galois (Escoffier), Escoffier (utilisée dans 2 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 61 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 407 versions au total)
Théorie de Galois : Niveau L3-M1, Ivan Gozard (utilisée dans 7 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 4 versions au total)
Théorie de Galois : Cours et Exercices, Jean-Pierre Escofier (utilisée dans 2 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 82 versions au total)