Leçon 127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 127 - Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.) Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème des nombres et des corps de nombres utilisés en algèbre ou en géométrie. L'objectif n'est pas d'en présenter le plus possible, mais plutôt d'en choisir certains, suffisamment variés, en en expliquant la genèse et en soulignant leur intérêt par des applications pertinentes. Les nombres décimaux, dyadiques, etc. fournissent des ensembles de nombres dont l'étude, si elle est accompagnée d'applications pertinentes, a sa place dans cette leçon. Les questions d'approximation diophantienne et leur lien avec les fractions continues, sans toutefois être un attendu de la leçon, entrent dans la suite logique de ce type de considération. Le corps des nombres algébriques, ainsi que certains de ses sous-corps particuliers, comme celui formé par l'ensemble des nombres constructibles ou des sous-anneaux formés par certains ensembles d'entiers algébriques constituent des pistes d'étude. Les candidates et candidats qui maîtrisent ces notions pourront aussi s'aventurer du côté des nombres de Pisot. La transcendance de π et celle de e sont des résultats à connaître, et le candidat pourra en donner des applications s'il le désire, mais les démonstrations de ces résultats non triviaux ne sont pas exigibles. L' irrationalité de nombres remarquables ($\sqrt{2}$, nombre d'or, $e$, $\pi$ peut être abordée. Étudier les propriétés algébriques de certains ensembles de nombres (par exemple du type $\mathbb{Z}[\omega]$ où $\omega$ est un nombre algébrique) peut être une piste intéressante et mener à des applications en arithmétique. L'utilisation des nombres complexes ou, pour aller plus loin, des quaternions, en géométrie ou en arithmétique constitue aussi une piste exploitable pour cette leçon.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 127 - Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Je suis passé en avril en oral blanc dessus. Ce plan a donc été fait en temps limité (1h30 sur le plan, le reste sur le dev). Le jury m'a dit que la partie sur l'équirépartition était superflue. Je suis assez d'accord, si j'étais repassé dessus j'aurai mis plus de résultats sur les entiers algébriques, et j'aurai mis le théorème de Burnside (les groupes de cardinal p^aq^b sont résolubles) en développement. Globalement le plan est béton je pense; il m'a valu un 18. Je vais voir pour le taper en LaTeX pour une meilleure lisibilité...
    Si ça peut servir : voilà les questions que j'ai eu. Je saute celles sur le dev.
    On m'a fait étudier l'anneau des décimaux, qui est principal, et on m'a fait déterminer ses inversibles.
    On m'a demandé le lien entre Z[isqrt(2)] et Q[isqrt(2)] (anneau des entiers), et si c'était toujours comme ça (ça dépend de d mod 4)
    On m'a demandé pourquoi j'appelais mon stathme N dans mon développement : c'est la norme de l'extension Q[isqrt(2)] sur Q. On m'a demandé ce que je savais là dessus.
    On m'a demandé si culturellement je savais quels étaient les noms associés à la transcendance de e.
    On m'a demandé de prouver que les nombres algébriques formaient un corps algébriquement clos.
    On m'a fait déterminer les triplets pythagoriciens de la forme (n,n+1,m).
    Et peut être d'autres choses que j'ai oublié!
    N'hésitez pas à me contacter pour toute remarque ou question.

  • Références :
  • Fichier :

Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Théorie des nombres, Daniel Duverney (utilisée dans 4 versions au total)
Invitation à l'algèbre, Alain Jeanneret et Daniel Lines (utilisée dans 7 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 312 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 19 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 270 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 44 versions au total)
Théorie de Galois (Escoffier), Escoffier (utilisée dans 2 versions au total)