Générateurs de GL_n(K) et SL_n(K) et application à la connexité

D'après moi pour les leçons : 108 et 162, peut-être plus utile pour la 162 car je ne trouve pas qu'il soit facile de trouver des développements pour celle-ci.

Les références pour chacune des démonstrations sont dans le document, mais il y a une coquille pour Gl_n(C), c'est l'application de R x ]0, 1[ -> C telle que t -> $\Psi_a$(t) qui est injective (pas [0,1] fermé !).

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Générateurs de O(E)

D'après moi pour les leçons : 106, 108, 160 et 161.

Attention démontrer les générateurs de O(E) et de SO(E) est assez long. Pour être passé dessus en développement blanc : ne pas oublier le cas où u = id.
Le dessin (à faire au fur et à mesure) rend d'après moi la démonstration limpide.
Sans celui-ci, elle est indigeste.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

D'après moi pour les leçons : 151 et 157.

Attention aux notation du livre de G. Berhuy, ce qu'il appelle une cellule de Jordan est généralement appelé bloc de Jordan (il fait une distinction entre les deux).

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Théorème de Sylow (version opération de groupes)

D'après moi pour les leçons : 101 et 104.

Je ne démontre que 3 des 4 théorèmes de Sylow (celui avec l'argument de Frattini étant nettement plus difficile), donc le développement se retrouve être un peu court.
Rajouter la démonstration du théorème Cayley résout le problème.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Structure des groupes abéliens finis

D'après moi pour les leçons : 102, 104, 107, 120 et très éventuellement 142 (pour la partie unicité).

C'est vraiment bien fait dans le livre de G. Berhuy (que je trouve remarquable à titre personnel), donc si vous cherchez une bonne source n'hésitez pas à y jeter un coup d'oeil.

Il est indispensable de savoir montrer que dans un groupe abélien fini, il existe un élément d'ordre l'exposant du groupe...

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Simplicité du groupe alterné An

Leçons 103, 104, 105
Développement finalement écarté de mes recasages à la fin de l'année

Théorème de Wedderburn

Leçons 101, 102, 103, 123, 141, 144.

Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

Il n'y a besoin que d'une référence parmi celles que j'ai listées.

Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K)

Bien connaître les liens avec les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.

Forme normale de Smith

Autre réf : Artin - Algèbre

Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.

Théorème de Dixon

Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.

Théorème de Dixon

Pas de groupe diédral dans ma version.
On démontre la formule de Burnside et on l'utilise pour prouver le théorème de Dixon. En termes de difficulté, c'est assez simple je trouve.

Attention aux coquilles.

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Un développement vraiment long et un peu compliqué, mais plutôt rentable et sympathique.

Niveau recasages : il faut faire attention à ceux proposés sur agreg-maths : par exemple, il passe parfaitement dans la 191, et pas vraiment en 122 (non non, l'histoire du polynôme minimal pour recaser le développement dans cette leçon est une arnaque pour moi...).

Attention à un recasage dans mon document : je mets "125 : Corps finis", mais c'est bel et bien "125 : Extensions de corps" qui convient. Je modifierai dans l'année, c'est une erreur de ma part.

Attention aux coquilles.

Classification des groupes d'ordre p^2 et 2p

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

Au vu de mon niveau je préférais dans un premier temps me consacrer aux 2 premiers lemmes. Mais pour le mettre dans la leçon 148 il fallait le théorème sans quoi je trouvais le recassage abusé. Je n'avais pas eu le temps de me mettre au point avant les oraux, j'aurais improvisé si j'étais passé dessus.

Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

Algorithme de Berlekamp

Exposant d'un groupe

Si le développement est un peu court on peut rajouter en plus l'ordre de x^d pour x dans G d'ordre fini et d un entier naturel non nul.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Théorème de Gauss-Wantzel

Ce théorème n'a pas l'air d'utiliser d'outils sophistiqués mais il n'en est rien ! En effet, on utilise au tout début du développement qu'un nombre a est constructible si, et seulement si, le degré de l'extension L/Q avec L le corps de décomposition de a sur Q est une puissance de 2. Ce résultat est très puissant mais est assez difficile à démontrer : il faut utiliser le fait que l’extension est galoisienne pour en déduire que le groupe de Galois est un 2-groupe pour en déduire qu’il est résoluble (les p-groupes le sont de manière générale) puis conclure avec la correspondance de Galois. Pour la réciproque, il faut utiliser la clôture galoisienne pour montrer que l’extension C/Q est normale (avec C le corps des nombres constructibles à la règle non graduée et au compas) pour conclure grâce au théorème de l’élément primitif.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Gros document sur la réduction de Frobenius. En plus de la preuve du théorème, il y a des résultats sur le calcul pratique des invariants de similitudes mais aussi des applications de cette réduction pour l'étude du commutant et bicommutant.
Lien pour le document:
Voici une preuve du théorème des disques de Gershgorin topologiques. Elle utilise un résultat sur la continuité des racines d'un polynôme qui est aussi démontré sur le document. Pour que la preuve tienne en 15min pour en faire un développement il faut faire des choix sur ce qu'on démontre ou non.
Voici le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis

Leçon: 102, 104, 120
Preuve de la classification des groupes abéliens finis en passant par les caractères. Preuve très sympa et intuitive mais il faut faire des choix sur ce que l'on présente pour tenir en 15min.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Forme normale de Smith

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Générateurs de GL_n(K) et SL_n(K) et application à la connexité

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Simplicité du groupe alterné An

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Comment oser se présenter à l'agreg sans connaître ce théorème !?

Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5

Pour les leçons : 103, 104, 105, 108.
En fonction du temps, on peut ou non démontrer les lemmes (mais dans tous les cas il faut savoir les démontrer).
Au final je ne faisais pas ce développement car je le trouvais trop compliqué à mémoriser. Je faisais les sous-groupes distingués de $S_{n}$ à la place.

Formule de Burnside

Pour les leçons : 101, 104, 105, 190.
Je démontre la formule des classes, la formule de Burnside et je fais une application probabiliste.

Sous-groupes distingués de Sn

Pour les leçons : 103, 104, 105, 108.
Développement que je trouve beaucoup plus simple que le classique "$\mathcal{A}_n$ est simple" et qui se recase dans les mêmes leçons.
Attention à l'ordre dans le plan, car par exemple le Berhuy utilise la simplicité de $\mathcal{A}_n$ pour en déduire les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_n$.

Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini

Dev assez costaud.

Je le faisais dans 105 avec le point noté 3 à la place des cardinaux en points 1 et 2.

Le lemme n'est pas très dur et se fait soit avec des techniques de corps (dans le livre) pour les leçons de corps, soit avec des techniques de groupes (dans la tête) pour les leçons de groupe.

Générateurs de GL_n(K) et SL_n(K) et application à la connexité

Dév pas costaud.

Je n'ai jamais rédigé ce dév sur papier, cependant quand je le faisais je prenais le Berhuy p80 et faisais comme lui, puis le Francinou pour SLn(K) connexe (par arcs).

Et si ca s'avérait court j'avais la section DOC (dense ouvert connexe) du carnet de voyage en algébrie.

À mon sens, montrer qu'un ensemble de matrices est connexe est classique, on passe par un système de générateurs, on montre la connexité par arcs en reliant à $+/-Id$. On pourra le faire par exemple avec $SO_3(\mathcal{R})$.

théorème de structure des groupes abéliens finis

Anneaux Z/nZ. Applications.

J'ai changé les developpements en cours d'année : j'aurai finalement mis Dirichlet faible et le théorème de Sophie Germain (que j'aurai rajouté après les tests de primalité), les refs ne sont pas notées car c'est une version faite en oral blanc mais tout se trouve assez facilement : voir Gozard pour les polynomes cyclotomiques, Berhuy pour le théorème Chinois et les éléments remarquables, Gourdon pour les tests de primalité, Combes pour le théorème de structure et le reste se trouve facilement dans Perrin et Rombaldi

Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

J'ai oublié de mettre les références à la fin du plan, mais la grande majorité vient du livre de G. Berhuy : Algèbre, le grand combat.

Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...

Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon présentée en cours d'année

Groupes finis. Exemples et applications.

Si c'était le jour J j'aurais enlevé les groupes diédraux, et j'aurais allongé la partie sur les représentations de groupes, en mettant la table de S4.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

On peut ajouter les tables de caractères.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Leçon pas très appréciée. Il manque l'aspect algorithmique.
Plan pas détaillé fait à la fin de l'année.

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Exponentielle de matrices. Applications.

Il faudrait trouver d'autres applications. (Je crois qu'il y en a dans Grifone)

Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.

Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Ébauche de plan non rédigé en intégralité, mais que je partage quand même car j'aime beaucoup la structure de mon plan, notamment la deuxième partie. Mes développements ont été l'algorithme de Berlekamp et le théorème de Liouville (cf. EWna).

Des exemples, juste énoncés, d'éléments ayant un pgcd mais pas de ppcm, ou pas de pgcd, se trouvent dans Berhuy. La preuve et plein d'autres belles infos sur les pgcd et ppcm se trouvent dans ce papier du culte Daniel Perrin : Autour du ppcm et du pgcd

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. La référence principale est le Berhuy.

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.

Exponentielle de matrices. Applications.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus à l'oral, je n'aurais pas choisi le développement sur Dunford. Le Berhuy fait tout le début, le Demailly sert pour la partie "équations différentielles".

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Groupes finis. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqué, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation ! 

TL1 = Tout-en-un licence 1

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqué, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation ! 

Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation ! 

Anneaux Z/nZ. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation ! 

TL1 = Tout-en-un licence 1

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation ! 

TL1 = Tout-en-un licence1

Corps finis. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation ! 

TL1 = Tout-en-un Licence 1

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

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TL1 = Tout-en-un-licence

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation ! 

TL1= Tout-en-un licence 1

Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

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Tout-en-un licence 1

Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

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Tout-en-un licence 1

Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

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Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

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Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

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TL1 = Tout-en-un licence

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Exponentielle de matrices. Applications.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

L'idée de mettre en valeur les deux aspects de la leçon (agir pour comprendre le groupe / pour comprendre l'ensemble) ne vient pas de moi, je pense que c'est une bonne idée car c'est suggéré par le rapport du jury

Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 150.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Voici un plan possible pour la leçon 152.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 154.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Voici un plan possible pour la leçon 156.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

J'ai fait cette leçon un peu vite... J'ai oublié le 3e théorème d'isomorphisme qu'il faut mettre évidemment.
Il ne faut pas oublier de parler du sous-groupe dérivé. La théorie de Sylow n'est pas obligatoire (parce que pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
La partie géométrie est appréciée du jury
Il faut savoir donner les classes de conjugaison de S_n.

Groupes finis. Exemples et applications.

Cette leçon est très calquée sur celle d'un ami grand fan de théorie des groupes ! Comme pour beaucoup de choses sur les groupes, tout est dans le Berhuy...
Si j'étais tombé sur celle-là le jour J, j'aurais très probablement enlevé la sous-partie sur les quaternions que je ne maîtrisais pas...
Je pense qu'il faut éviter de faire des rappels trop longs de généralités, d'actions de groupes et vite focus le plan sur les groupes finis (abéliens, non abéliens...)
La théorie de Sylow est hors-programme, mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
Dans le DEV 1, je rajoute 2 lemmes pour que ça tienne en 15 minutes : $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les 3-cycles et ceux-ci sont tous conjugués dans $\mathfrak{A}_n$.

Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs (groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal...)
Les groupes d'isométries du tétraèdre et du cube sont à mon sens un bon investissement à faire pendant l'année.
Comme vous pouvez le constater, j'ai fortement réduit la partie "structure des groupes abéliens (de type) fini" car je n'étais pas du tout à l'aise là-dessus.... Si on en parle, il faut dans tous les cas savoir écrire un produit cartésien de groupes cycliques sous la forme du théorème.

Nombres premiers. Applications.

Comme l'indique le rapport du jury 2024, cette leçon est très vaste et il faut faire des choix. C'est l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise.
Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat...
On n'est pas obligé de parler des nombres de Carmichael, mais le DEV se recase très bien dans 120 et 127
Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant vraiment atroces) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Cette leçon a été faite au tout début de l'année, le plan n'est peut-être pas des plus pertinents.

/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV 1 par les endomorphismes semi-simples ! Mais ça peut être bien d'avoir une idée de la démo de mon ancien DEV 1 sur cette leçon (voir le Francinou exos agreg algèbre 1), ça donne un exemple d'anneau principal plus sophistiqué que les habituels anneaux $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$...

/!\ J'ai aussi remplacé le DEV 2 par le théorème des deux carrés (voir ma leçon 127). On peut aussi bien sûr faire le théorème chinois + un exemple en DEV, j'ai choisi de ne pas le faire car j'avais un peu peur des calculs en DEV...

Il faut connaître les implications entre les types d'anneaux (euclidien, principal, factoriel) et des contre-exemples pour les implications réciproques.

Corps finis. Applications.

Il faut savoir démontrer l'existence et l'unicité du corps à $q=p^n$ éléments et surtout construire par exemple $\mathbb{F}_4$ ou $\mathbb{F}_9$ explicitement en utilisant un polynôme irréductible. Il faut aussi savoir multiplier deux éléments dans un corps fini, trouver les inverses etc...
Pour la cyclicité du groupe multiplicatif des inversibles, j'ai choisi de le faire par l'exposant (comme ça je pouvais le remettre dans les leçons de groupes) mais ça peut se faire par d'autres moyens.
Il faut savoir justifier pourquoi il existe des polynômes irréductibles de tout degré à coefficients dans $\mathbb{F}_q$.
Le Francinou où se trouve le DEV 2 est celui qui s'appelle "Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1"

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Je n'aime vraiment pas cette leçon... Mais il fallait bien la faire car j'avais déjà une impasse sur la 181...
La partie sur les anneaux ressemble beaucoup à la leçon 122, et la leçon en elle-même ne me semble pas trop mal mais la partie II-2) me faisait très peur (il est pourtant fortement recommandé de parler de ça dans le rapport du jury) et surtout mes développements sont vraiment bof bof ...
Bref à consulter avec prudence !

Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon. Dans la sous-partie "endomorphismes remarquables diagonalisables", on peut ajouter les normaux et les symétriques si on a la place, on peut aussi remplacer les orthogonaux par les symétriques...
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Il faut mettre en avant d'un côté l'action d'un groupe sur un ensemble et d'un autre côté d'un groupe sur lui-même afin de dégager le plus de propriétés possibles et d'illustrer un maximum ces propriétés par des exemples variés dans divers domaines (algèbre linéaire/commutative, théorie des groupes, géométrie, ...).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

Cette leçon est difficile à faire car il y a beaucoup de choses à dire et on peut partir dans beaucoup de directions mais il n'y a pas une référence privilégiée qui s'attarde sur le sujet et donne des applications poussées dans divers domaines variés... Les livres de classe prépa peuvent aider pour bien poser les bases et rappeler toutes les définitions et propriétés de base.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Il y a énormément de choses à dire dans cette leçon et je n'ai pas réussi à faire un choix alors j'ai décidé de tout laisser pour donner un large point de vue sur ce qui était faisable. Les deux dernières parties sont hors programme donc pas nécessaires (sauf le paragraohe où l'on s'intéresse à des sous-groupes distingués) mais si jamais on parle d'une des parties il faut bien être au point dessus au risque d'en subir les conséquences pendant l'oral...
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année et la partie géométrie est appréciée du jury.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Groupes finis. Exemples et applications.

Cette leçon ressemble beaucoup à celle juste au dessus (étrange...) !
On peut faire cette leçon en très (très !) grande majorité avec le Berhuy. Il faut éviter de faire énormément de rappels et il est préférable de donner beaucoup d'exemples et de les diversifier (par exemple en consacrant un petit bout de la leçon aux sous-groupes finis du groupe linéaire ou de ses sous-groupes).
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Il faut parler des classes de conjugaison et connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints et savoir l'appliquer en pratique.

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Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Il faut se concentrer dans cette leçon sur l'aspect algébrique du groupe linéaire et l'étudier en tant que groupe en parlant de générateurs, sous-groupes remarquables, actions de groupes, etc. On peut également pousser un peu plus les choses avec les groupes projectifs et les isomorphismes exceptionnels. Il faut également garder une petite place pour parler des propriétés topologiques de cet espace (connexité, sous-groupes compacts, ...).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs et essayer de donner le plus d'exemples possibles au aussi variés que possibles : groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal, etc. Les groupes d'isométries des solides platoniciens sont également un bon investissement à faire pendant l'année.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Anneaux Z/nZ. Applications.

Dans cette leçon on doit s'intéresser à Z/nZ en tant que groupe mais surtout en tant qu'anneaux et donner le plus d'applicatiosn diverses possibles (RSA, caractéristique d'un anneau, théorème de Dirichlet faible, ...). Il faut également savoir résoudre un système de congruences, trouver l'inverse d'un élément dans Z/nZ et résoudre des équations du second degré dans cet anneau.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Nombres premiers. Applications.

Cette leçon est très vaste et il faut faire des choix, c'est donc l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise ! Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat et il est donc difficile de se démarquer dessus et les candidats sont censés bien maîtriser le sujet... Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant très longues) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (le théorème de Dirichlet faible).
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Dans cette leçon il faut connaître les implications entre les différents types d'anneaux (euclidiens, principaux, factoriels, etc.) et connaître des contre-exemples. Il faut également savoir ce que chaque catégorie d'anneaux apporte par rapport aux autres.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Cette leçon est nouvelle donc on ne connaît pas encore exactement les attentes du jury mais les anneaux de la forme Z[w] et les nombres algébriques semblent indispensables. Parler du corps des nombres constructibles peut être un bon investissement car ce n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs autres leçons.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

La majeure partie de cette leçon peut être faite avec le Perrin (surtout les extensions de corps). Il faut donner des critères d'irréductibilité avec des applications et arriver à les mixer avec la théorie des corps et si possible parler un peu d'algèbre linéaire avec le polynôme minimal et ce qu'il apporte. Il faut également savoir montrer qu'un polynôme est irréductible (ou au moins proposer des critères), mais aussi construire des corps finis comme F_4 ou F_9 avec un polynôme irréductible, puis faire des calculs dans le corps fini ainsi construit (produits, inverses, etc.).
Il faut éviter de s'aventurer en théorie de Galois car ça demande un gros investissement juste pour peu de leçons et le sujet est très compliqué avec peu de recul... Par contre, la constructibilité n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs leçons donc l'investissement peut vite être rentabiliser !

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Cette leçon ressemble beaucoup à la 122 sur les anneaux principaux mais il est possible de parler d'autres sujets comme par exemple de l'algorithme de Smith que je n'ai pas abordé ici.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Cette leçon est relativement difficile car malgré le nombre de choses à dire il y a énormément de choses à maîtriser. Toute la difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça, ça demande pas mal de travail juste pour une leçon...

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Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon en donnant des résultats de deuxième année (polynôme caractéristique/minimal et réduction d'endomorphismes) et des applications comme le calcul d'inverse, de puissance ou d'exponentielle d'une matrice.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Les endomorphismes cycliques sont importants dans cette leçon et on peut aller jusqu'à la décomposition Frobenius et les résultats théoriques qui suivent si on le désire (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique avec l'algorithme de Smith).
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

C'est une leçon de niveau de deuxième année à priori mais il faut en contreparti être à l'aise dessus. En particulier le critère de co-diagonalisabilité doit être connu et avoir une idée de la démonstration (d'autant plus que ça tombe souvent aux écrits !). La topologie sur les espaces de matrices peut être un bon investissement car les gens en parlent assez peu dans le cadre de l'agrégation et ça permet de se démarquer : l'investissement est donc rentable.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Cette leçon paraît facile au premier abord, mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché d'éléments propres" avec les méthodes numériques comme par exemple la méthode de la puissance qui sont indispensables dans cette leçon et qu'il faut connaître un minimum.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Cette leçon est l'occasion de faire le point sur la réduction de matrices (diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, décomposition de Jordan, décomposition de Frobenius, etc.) ainsi que des générateurs du groupe linéaire. Il n'est pas essentielle de présenter toutes les décompositions de matrices que l'on connaît, mais il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir la faire en pratique : certaines démonstrations sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Exponentielle de matrices. Applications.

Cette leçon est l'occasion de découvrir/approfondir la notion de rayon spectral et de découvrir pas mal de petites choses et même de bien faire le point (voire de découvrir) l'exponentielle matricielle.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés vaut le coup car c'est un peu la "finalité" de cette théorie. Les démonstrations sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique !
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

Cette leçon est assez difficile car la dualité n'est plus très abordée en CPGE ni à la fac donc il faut se mettre à niveau. Concevoir cette leçon est donc une tâche assez difficile étant donné qu'il faut quasiment découvrir un pan entier d'algèbre et prendre du recul le plus vite possible.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Cette leçon n'est pas la plus évidente à faire... Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut également savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en dimension 2 ou 3 à partir d'une matrice (cas vectoriel) ou d'un système (cas affine).

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Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Cette leçon peut se faire de bien des manières différentes. Personnellement, j'ai choisi d'insister sur lalgèbre et plus particulièrement sur la théorie des groupes parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut parler de probabilités par exemples (les applications ne manquent pas !). En revanche il faut bien s'attendre à avoir des exercices qui nécessitent de faire du dénombrement et donc il faut en faire de temps en temps pour garder en tête des "techniques classiques de dénombrement".

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Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Cette leçon est très intéressante car elle est immense et elle permet ainsi de vraiment choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. On peut par exemple piocher dans les groupes, la géométrie euclidienne et affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité par exemple ! Autrement dit, il est possible de faire une leçon qui n'a aucun point commun avec la mienne mais qui soit très bien faite !

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Il faut savoir trouver le rayon de convergence d'une série entière et il faut également savoir comment on obtient l'existence et l'unicité de ce rayon de convergence (lemme d'Abel). Il faut aussi savoir démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de convergence, savoir étudier ce qui se passe sur le cercle d'incertitude dans certains cas... Enfin, il faut aussi faire attention à ne pas dire de bêtises sur les séries entières car cette leçon est surtout d'un niveau de deuxième année donc le jury peut être exigeant.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Convergences d'une suite de variables aléatoires.Théorèmes limite. Exemples et applications.

Il faut axer cette leçon sur les différents modes de convergence des variables aléatoires et surtout les liens entre ces différents modes convergences (et également faire un schéma résumé en annexe pour que ça soit plus clair pour le jury). Il faut refaire quelques exercices et savoir quelle méthode utiliser pour montrer tel ou tel mode de convergence.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Dans cette leçon il faut rester au maximum dans le cadre discret, parler de moments (espérance, variance, etc.), de formule du transfert, etc. Il faut connaître les propriétés propres aux variables aléatoires discrètes et savoir utiliser les différentes formules et les inégalités (et ne pas oublier les fonctions génératrices !).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

J'aime bien.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

J'aime bien.

Groupes finis. Exemples et applications.

J'aime bien.

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

J'aime bien.

Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

J'aime pas.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

J'aime bien.

Déterminant. Exemples et applications.

J'aime pas.

Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

J'aime bien.

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

J'aime bien.

Extensions de corps. Exemples et applications.

La grande majorité de la leçon peut être faire uniquement en utilisant le Perrin !
Il faut éviter de s'aventurer en théorie de Galois car ça demande un gros investissement juste pour peu de leçons et le sujet est très compliqué avec peu de recul... Par contre, la constructibilité n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs leçons donc l'investissement peut vite être rentabiliser !
Le jury considère cette leçon comme difficile et donc maîtriser la base suffit.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Corps finis. Applications.

Il faut savoir démontrer l'existence et l'unicité du corps fini à q = p^n éléments et surtout construire par exemple F_4 ou F_9 explicitement en utilisant un polynôme irréductible. Il faut également savoir justifier pourquoi il existe des polynômes irréductibles de tout degré à coefficients dans F_q.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Leçon trop longue, il faudrait élaguer un peu je pense.

Je fais toujours une feuille à part avec le plan, les réfs, des commentaires sur la leçon et comment faire la leçon.
C'est assez personnel et très peu formel mais je partage au cas où ça soit utile.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

J'aime bien mon plan, qui est assez classique. La deuxième partie permet de mettre en valeur les deux types d'actions que l'on utilise le plus.
J'ai fais ma troisième partie sur les actions sur les groupes de matrices car je ne trouvais d'autres applications qui me conviennent, mais on peut aller dans beaucoup d'autres directions. De toute façon cette partie se recase dans d'autres leçons.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Attention, mon méta-plan est correct, mais pas mon plan manuscrit (j'ai déplacé la partie sur les $p$-groupes car elle doit arriver après les groupes quotients).
Mon deuxième développement était sur les sous-groupes distingués de $S_n$ car je trouvais celui sur la simplicité de $A_n$ trop compliqué à retenir.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupes finis. Exemples et applications.

L'intérêt de cette leçon est qu'elle ne nécessite pas beaucoup de références.
J'aime bien mon plan, à savoir l'idée de présenter un groupe fini abélien et un non-abélien. Après je n'ai pas eu de retours dessus donc je ne sais pas si cela convient.
Comme deuxième développement j'ai préféré faire la formule de Burnside et une application au lieu de faire un développement sur le groupe symétrique (je ne voulais pas avoir trop de questions sur cette notion).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Une des leçons les plus simples à faire, même si je n'étais pas fan de cette notion. En effet, il suffit de suivre le Berhuy (ou le Rombaldi selon vos goûts) et ensuite juste rajouter des applications.
Il faut bien savoir comment vous définissez le morphisme signature, car plusieurs constructions sont possibles et l'ordre des propriétés change alors.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Anneaux Z/nZ. Applications.

J'ai fait une première partie sur le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ car il y a vraiment des propriétés importantes, après je ne sais pas si cela est considéré comme hors-sujet étant donné que le titre de la leçon invite à se concentrer sur la notion d'anneau.
Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais enlevé la partie sur les systèmes de congruences (en laissant tout de même un exemple pour illustrer le théorème chinois) car je n'étais pas à l'aise dessus.
Je pense que l'on peut justifier de faire un développement sur l'irréductibilité de polynômes (Eisenstein ou polynômes cyclotomiques par exemple) car on se place à de nombreuses reprises dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

J'aimais bien cette leçon, d'autant plus que je n'avais qu'à suivre le Ulmer pour le début.
Je pense que l'on peut parler d'anneau factoriel dans cette leçon, j'ai préféré ne pas le faire par peur de certaines questions. On peut aussi parler de nombres algébriques et polynôme minimal associé.
Pour le développement sur le critère d'Eisenstein, je me plaçais dans un anneau principal (alors que factoriel suffit) et cela simplifiait donc la preuve.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Je n'aimais pas du tout cette leçon, c'est pour cette raison que je l'ai faite à la toute fin de l'année et que je n'ai qu'un méta-plan.
Je consacre tout une partie au groupe symétrique car on dispose de nombreux générateurs pour ce groupe, et car j'ai un développement sur les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_{n}$.
Pour le deuxième développement, je n'ai pas trouvé mieux que "$(\mathbb{Z}/p^{\alpha}\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique".

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Plan ultra classique, il y a vraiment zéro prise de risques.
Je pense que pendant la présentation de 6 minutes, il faut insister sur l'utilité des corps de rupture et de décomposition, cela permet de faire "vivre" la leçon.
Si j'étais passé dessus le jour J, j'aurais enlevé la sous-partie sur la clotûre algébrique par manque de place (je préférais me concentrer sur les corps finis car leur construction utilise les corps de rupture et de décomposition, on peut d'ailleurs le présenter comme développement).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

J'ai l'impression que cette leçon est redoutée par beaucoup, mais je pense qu'en bossant bien les notions elle n'est pas si compliquée (par contre je ne trouvais pas beaucoup de développements). Il faut bien faire attention à l'odre dans lequel on introduit les notions, j'ai pour ma part décidé de partir du cas général pour aller vers les cas particuliers (qui sont plus simples).
Comme algorithmes, le mimimum est de mettre celui d'Euclide et celui d'Euclide étendu (ce sont les algorithmes utilisés au lycée donc aucune nouveauté).
Je ne pense pas que mon développement sur le critère d'Eisenstein mérite une sous-partie à lui tout seul, mais je ne voyais pas où le mettre sinon.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon assez élémentaire mais où il faut être au point sur l'ordre des propriétés annoncées. Par exemple le fait que toutes les bases ont même cardinal peut se prouver de plusieurs façons et n'est pas aussi simple que ça à démontrer. Pareil pour le fait que tout SEV d'un EV de dimension finie est aussi de dimension finie. C'est le genre de questions que le jury peut poser pendant la phase de discussion pour voir si vous maitrisez bien les bases.

Le Grifone et le Gourdon font bien le taff pour les deux premières parties.
Pour la partie applications, on peut faire de nombreux choix. Je pense d'ailleurs que deux applications suffisent, sinon il n'y aura pas assez de place.
Au départ mon deuxième développement devait être sur l'équivalence des normes et le théorème de Riesz, mais il était trop orienté "analyse" et ça se voyait que c'était un recasage (même si je pense qu'il peut se justifier, à faire confirmer par un professeur). J'avais donc choisi à la place celui sur la caractérisation des nombres algébriques et le corps des nombres algébriques.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Le rapport du jury stipule qu'il faut bien insister sur les polynômes d'endomorphismes. D'ailleurs si vous faites le développement sur la décomposition de Dunford, il faut absolument faire la preuve où les endomorphismes $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ (cela vient du lemme des noyaux, dont la démonstration est limpide dans le Mansuy).
Mon développement sur le théorème spectral est peut être un peu court, il faudrait rajouter une application. Je pense que l'on peut trouver un meilleur dèv.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Le Mansuy peut (encore une fois) à lui seul faire toute la leçon.
La première partie peut sûrement être raccourcie, par exemple en ne rappelant pas les définitions de polynôme minimal et caractéristique, juste en écrivant les propriétés importantes.

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Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Leçon qui se fait rapidement, les premières parties se retrouvent dans de nombreuses leçons.
Concernant le calcul approché d'élements propres, je n'en parle pas car je n'étais vraiment pas à l'aise. Je pense que ce que j'ai mis dans ma troisième partie sur la recherche des valeurs propres est suffisant, ce sont des notions que j'ai découvert en préparant la leçon donc je n'ai pas de recul dessus.
Mon plan étant très théorique (et peut-être pas assez appliqué), je ne pense pas que j'aurais immédiatement choisi cette leçon le jour J.

Le développement sur le théorème spectral est justifié car on se sert des valeurs propres et des vecteurs propres.

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Exponentielle de matrices. Applications.

Je n'ai pas trouvé beaucoup de choses à dire sur cette leçon, heureusement qu'il y a les équations différentielles à mettre comme application.
Je n'avais pas d'idée pour mon deuxième développement, j'ai donc fait la surjectivité de l'exponentielle matricielle en utilisant la démonstration du Mansuy.

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Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Plan classique, on peut raccourcir la première partie si l'on veut.
Je n'avais pas envie de parler de la suite des noyaux itérés et de la décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents (qui est hors programme), mais le rapport du jury insistait beaucoup dessus.
J'ai mis la décomposition de Dunford à part car c'est elle qui fait le lien entre endomorphismes trigonalisables et nilpotents.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Si on aime le dénombrement, cette leçon est un régal car on peut aller dans de nombreuses directions.
Je pense que la première partie est incontournable, de toute façon il suffit de suivre le Gourdon à la lettre.
L'inconvénient de cette leçon est que pour chaque résultat énoncé, la démonstration est vraiment différente, donc il est difficile de mémoriser toutes les preuves (et le jury demandera forcément de démontrer un résultat du plan).
Je ne vois pas trop comment défendre les parties durant la présentation de 6 minutes, étant donné qu'à chaque fois c'est "tel résultat est utile/intéressant, et son lien avec la combinatoire c'est qu'on utilise la dénombrement dans sa démonstration".
Pour les développements proposés, il faut évidemment s'attarder sur la partie dénombrement et passer plus vite sur le reste.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
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Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Groupes finis. Exemples et applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

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Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

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Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).

Nombres premiers. Applications.

Plan préparé en présenté en oral blanc, en conditions réelles d'examen. Je vais essayer de faire un retour assez complet de l'oral.

J'ai introduit le sujet en disant que les nombres premiers sont étudiés depuis l'antiquité, et pourtant ils restent encore aujourd'hui au cœur de problèmes de recherche, ce qui révèle l'étendue en la richesse des thèmes qui les entourent. Mon jury a ajouté qu'on aurait pu également dire que les étudier a un intérêt pédagogique, car il est très facile d'expliquer ce qu'est un nombre premier et de faire de l'arithmétique élémentaire avec (on le fait dès le lycée) et pourtant ça n'en est pas moins une notion profonde toujours étudiée en maths modernes.

Par rapport au plan lui-même, il contient une inexactitude dans l'ordre des théorèmes (le lemme d'Euclide qui arrive un peu tard) ce qui a conduit au jury à me faire prouver que les anneaux principaux sont factoriels. Il y a également une erreur au niveau du critère d'Eisenstein. Mis à part ça, le jury n'a pas relevé de problème dans le fond du plan, et les deux développements ont été validés (j'ai présenté le critère de Solovey-Strassen).

Voici une petit récapitulatif des questions que j'ai eues :
1) Comment le critère de Solovey-Strassen s'applique-t-il concrètement ? Comment faire les calculs en pratique ? Une idée du temps de calcul ?
2) Est-ce que l'algorithme de Solovey-Strassen finit par devenir déterministe lorsque $k$ augmente ? D'où vient le $1/2^k$ qui apparait dans la borne probabiliste ?
3) Pouver le lemme d'Euclide (sans utiliser la décomposition en facteurs premiers puisque celle-ci recquiert le lemme d'Euclide pour sa preuve)
4) Corriger le critère d'Eisenstein. Contre-exemple au théorème faux énoncé ?
5) Prouver le théorème 44

Après quoi le jury m'a donné un exercice : soit $a$ un entier tel qu'il existe $n$ tel que pour tout entier $k$ non nul, $a$ est une puissance $n$-ième modulo $k$.

En conclusion, l'oral c'est globalement bien passé. Toutefois, il faut faire attention, particulièrement dans ce genre de leçon, à ne pas perdre de vue les démonstrations des théorèmes les plus élémentaires car le jury nous attend là-dessus, et on peut facilement les oublier une fois qu'on apprend des résultats de bien plus haut niveau. Par ailleurs, il y a pas mal de choses dont j'ai parlé dont on peut très bien se passer si on ne se sent pas à l'aise dessus (symboles de Legendre et de Jacobi, théorèmes de Sylow, etc.), il y a plein d'autres choses à faire dans cette leçon.

Elements de réponse aux questions :
1) La plus grosse difficulté calculatoire est de calculer les symboles de Jacobi. On peut les calculer en utilisant un algorithme très similaire à celui du calcul des symboles de Legendre, qui repose sur la loi de réciprocité quadratique (qui reste vraie pour les symboles de Jacobi). Le calcul se fait en O(log(n)^3)
2) Enoncé ainsi, l'algorithme ne devient jamais déterministe car les entiers testés sont tirés aléatoirement avec remise. Cela dit, on pourra facilement modifier l'algo pour faire un tirage sans remise, auquel cas l'algo devient déterministe si on prend $k = n$ (mais dans ce cas l'algo est très mauvais). Le 1/2 vient du fait que l'ensemble des entiers entre 1 et n qui passent le test est un sous-groupe stricte de (Z/nZ)* si n est non premier. Son cardinal est donc majoré par n / 2.
4) Le critère fournit l'irréductibilité sur Q. 2X + 6 est un contre-exemple (il passe le teste d'Eisenstein avec p = 3).
5) On le prouve par récurrence sur r en utilisant le fait que le centre est non-trivial. L'astuce consiste à prendre le sous-groupe cherché dans Z(G) ou G / Z(G) (et ensuite le tirer en arrière par la projection sur le quotient).