Référence : Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité

Développement :
Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 108 et 162, peut-être plus utile pour la 162 car je ne trouve pas qu'il soit facile de trouver des développements pour celle-ci.

Les références pour chacune des démonstrations sont dans le document, mais il y a une coquille pour Gl_n(C), c'est l'application de R x ]0, 1[ -> C telle que t -> $\Psi_a$(t) qui est injective (pas [0,1] fermé !).

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
Fichier :
- Générateurs GL(E) - V1.pdf

Générateurs de O(E)

Développement :
Générateurs de O(E)
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 106, 108, 160 et 161.

Attention démontrer les générateurs de O(E) et de SO(E) est assez long. Pour être passé dessus en développement blanc : ne pas oublier le cas où u = id.
Le dessin (à faire au fur et à mesure) rend d'après moi la démonstration limpide.
Sans celui-ci, elle est indigeste.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Référence :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Générateurs O(E) - V1.pdf

Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Développement :
Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 151 et 157.

Attention aux notation du livre de G. Berhuy, ce qu'il appelle une cellule de Jordan est généralement appelé bloc de Jordan (il fait une distinction entre les deux).

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Référence :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Jordan nilpotent - V1.pdf

Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Développement :
Théorème de Sylow (version opération de groupes)
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 101 et 104.

Je ne démontre que 3 des 4 théorèmes de Sylow (celui avec l'argument de Frattini étant nettement plus difficile), donc le développement se retrouve être un peu court.
Rajouter la démonstration du théorème Cayley résout le problème.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Référence :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Sylow - V1.pdf

Structure des groupes abéliens finis

Développement :
Structure des groupes abéliens finis
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 102, 104, 107, 120 et très éventuellement 142 (pour la partie unicité).

C'est vraiment bien fait dans le livre de G. Berhuy (que je trouve remarquable à titre personnel), donc si vous cherchez une bonne source n'hésitez pas à y jeter un coup d'oeil.

Il est indispensable de savoir montrer que dans un groupe abélien fini, il existe un élément d'ordre l'exposant du groupe...

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Référence :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Structure des g.a.f. - V2.pdf

Simplicité du groupe alterné An

Développement :
Simplicité du groupe alterné An
Remarque :
Leçons 103, 104, 105
Développement finalement écarté de mes recasages à la fin de l'année
Référence :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Dev 2 - Simplicité du groupe alterné.pdf

Théorème de Wedderburn

Développement :
Théorème de Wedderburn
Remarque :
Leçons 101, 102, 103, 123, 141, 144.
Référence :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Dev 4 - Théorème de Wedderburn.pdf

Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

Développement :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Remarque :
Il n'y a besoin que d'une référence parmi celles que j'ai listées.
Références :
Fichier :
- dunford.pdf

Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K)

Développement :
Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K)
Remarque :
Bien connaître les liens avec les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.
Références :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
- Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- generateurs.pdf

Forme normale de Smith

Développement :
Forme normale de Smith
Remarque :
Autre réf : Artin - Algèbre
Références :
Fichier :
- Smith.pdf

Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Développement :
Probabilité que deux éléments commutent dans groupe
Remarque :
Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.
Références :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Dixon.pdf

Théorème de Dixon

Développement :
Théorème de Dixon
Remarque :
Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.
Références :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Dixon.pdf

Théorème de Dixon

Développement :
Théorème de Dixon
Remarque :
Pas de groupe diédral dans ma version.
On démontre la formule de Burnside et on l'utilise pour prouver le théorème de Dixon. En termes de difficulté, c'est assez simple je trouve.

Attention aux coquilles.
Références :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Théorème de Dixon.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
Un développement vraiment long et un peu compliqué, mais plutôt rentable et sympathique.

Niveau recasages : il faut faire attention à ceux proposés sur agreg-maths : par exemple, il passe parfaitement dans la 191, et pas vraiment en 122 (non non, l'histoire du polynôme minimal pour recaser le développement dans cette leçon est une arnaque pour moi...).

Attention à un recasage dans mon document : je mets "125 : Corps finis", mais c'est bel et bien "125 : Extensions de corps" qui convient. Je modifierai dans l'année, c'est une erreur de ma part.

Attention aux coquilles.
Référence :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Théorème de Gauss pour les polygones constructibles.pdf

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

Leçon :
Anneaux Z/nZ. Applications.
Remarque :
J'ai changé les developpements en cours d'année : j'aurai finalement mis Dirichlet faible et le théorème de Sophie Germain (que j'aurai rajouté après les tests de primalité), les refs ne sont pas notées car c'est une version faite en oral blanc mais tout se trouve assez facilement : voir Gozard pour les polynomes cyclotomiques, Berhuy pour le théorème Chinois et les éléments remarquables, Gourdon pour les tests de primalité, Combes pour le théorème de structure et le reste se trouve facilement dans Perrin et Rombaldi
Références :
Fichier :
- ZnZ.pdf

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

Leçon :
Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Lecon_104 - Groupes Abéliens Et Non Abéliens Finis. Exemples Et Applications..pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Leçon :
Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
Remarque :
J'ai oublié de mettre les références à la fin du plan, mais la grande majorité vient du livre de G. Berhuy : Algèbre, le grand combat.

Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
Référence :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- 157 - V1.pdf

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Références :
Fichier :
- 155-manuscrite.pdf

105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Il faudrait trouver d'autres applications. (Je crois qu'il y en a dans Grifone)
Références :
Fichier :
- b0 156.pdf

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon :
Groupes finis. Exemples et applications.
Remarque :
Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.

Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).
Références :
Fichier :
- 104.pdf

142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Leçon :
PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
Remarque :
Ébauche de plan non rédigé en intégralité, mais que je partage quand même car j'aime beaucoup la structure de mon plan, notamment la deuxième partie. Mes développements ont été l'algorithme de Berlekamp et le théorème de Liouville (cf. EWna).

Des exemples, juste énoncés, d'éléments ayant un pgcd mais pas de ppcm, ou pas de pgcd, se trouvent dans Berhuy. La preuve et plein d'autres belles infos sur les pgcd et ppcm se trouvent dans ce papier du culte Daniel Perrin : Autour du ppcm et du pgcd
Références :
Fichier :
- 142.pdf

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Leçon :
Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. La référence principale est le Berhuy.
Références :
Fichier :
- 103 _ conjugaison_dans un groupe.pdf

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon :
Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.
Références :
Fichier :
- 151_dimension_d'un_ev.pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus à l'oral, je n'aurais pas choisi le développement sur Dunford. Le Berhuy fait tout le début, le Demailly sert pour la partie "équations différentielles".
Références :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
- Analyse numérique et équation différentielle , Demailly
Fichier :
- 156 _ exponentielles de matrices.pdf

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Utilisée dans les 13 développements suivants :

Utilisée dans les 10 leçons suivantes :

Utilisée dans les 14 versions de développements suivants :

Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité

Générateurs de O(E)

Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Structure des groupes abéliens finis

Simplicité du groupe alterné An

Théorème de Wedderburn

Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K)

Forme normale de Smith

Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Théorème de Dixon

Théorème de Dixon

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Utilisée dans les 16 versions de leçons suivantes :

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.