Leçon 144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

(2023) 144
(2025) 144

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est indispensable de bien définir l'ordre de multiplicité d'une racine (définition algébrique et analytique, quand c'est possible). Les fonctions symétriques élémentaires et les relations entre coefficients et racines doivent être maîtrisées et pouvoir être mises en oeuvre. Des méthodes, même élémentaires, de localisation des racines ont toute leur place et peuvent déboucher sur des résultats de topologie à propos de la continuité des racines. Il est pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé et de citer le théorème de d'Alembert-Gauss. On peut faire apparaître le lien entre la recherche des racines d'un polynôme et la réduction des matrices. Les candidates et candidats peuvent également s'intéresser aux racines des polynômes orthogonaux, ou aux règles des signes de Descartes et de Sturm. L'étude des propriétés des nombres algébriques ont leur place dans cette leçon. La théorie des corps et le cas particulier des corps finis peuvent aussi être évoqués de façon pertinente. Les candidates et candidats peuvent aller plus loin en s'intéressant à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin ou au calcul effectif d'expressions polynomiales symétriques des racines d'un polynôme. Il ne s'agit par contre en aucun cas d'adapter le plan de la leçon 141 : l'irréductibilité des polynômes peut être évoquée mais ne doit pas être l'élément central de la leçon.

(2022 : 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est indispensable de bien définir l'ordre de multiplicité d'une racine (définition algébrique et analytique, quand c'est possible). Les fonctions symétriques élémentaires et les relations entre coefficients et racines doivent être maîtrisées et pouvoir être mises en oeuvre. Des méthodes, même élémentaires, de localisation des racines ont toute leur place et peuvent déboucher sur des résultats de topologie à propos de la continuité des racines. Il peut être pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé et de citer le théorème de d'Alembert- Gauss. Il est apprécié de faire apparaître le lien entre la recherche des racines d'un polynôme et la réduction des matrices. Les candidats peuvent également s'intéresser aux racines des polynômes orthogonaux, ou aux règles des signes de Descartes et de Sturm. L'étude des propriétés des nombres algébriques peuvent trouver leur place dans cette leçon. La théorie des corps et le cas particulier des corps finis peuvent aussi être évoqués de façon pertinente. S'ils le désirent, les candidats peuvent s'intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin ou au calcul effectif d'expressions polynomiales symétriques des racines d'un polynôme. Il ne s'agit par contre en aucun cas d'adapter le plan de la leçon 141 : l'irréductibilité des polynômes peut être évoquée mais ne doit pas être l'élément central de la leçon
(2020 : 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est indispensable de bien définir l’ordre de multiplicité d’une racine (définition algébrique et analytique, quand c’est possible). Les fonctions symétriques élémentaires et les relations entre coefficients et racines doivent être maîtrisées et pouvoir être mises en œuvre. Des méthodes, même élémentaires, de localisation des racines ont toute leur place et peuvent déboucher sur des résultats de topologie à propos de la continuité des racines. $$$$ Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé et de citer le théorème de d’Alembert-Gauss. Il est apprécié de faire apparaître le lien entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices. Les candidats peuvent également s’intéresser aux racines des polynômes orthogonaux, ou aux règles des signes de Descartes et de Sturm. L’étude des propriétés des nombres algébriques peuvent trouver leur place dans cette leçon. La théorie des corps et le cas particulier des corps finis peuvent aussi être évoqués de façon pertinente. $$$$ S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin. $$$$ Il ne s’agit par contre en aucun cas d’adapter le plan de la leçon 141 : l’irréductibilité des polynômes peut être évoquée mais ne doit pas être l’élément central de la leçon.
(2019 : 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est indispensable de bien définir l’ordre de multiplicité d’une racine (définition algébrique et analytique, quand c’est possible). Les fonctions symétriques élémentaires et les relations entre coefficients et racines doivent être maîtrisées et pouvoir être mises en œuvre. Des méthodes, même élémentaires, de localisation des racines ont toute leur place et peuvent déboucher sur des résultats de topologie à propos de la continuité des racines. $\\$ Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé et de citer le théorème de d’Alembert-Gauss. Il est apprécié de faire apparaître le lien entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices. Les candidats peuvent également s’intéresser aux racines des polynômes orthogonaux, ou aux règles des signes deDescarteset de Sturm. L’étude des propriétés des nombres algébriques peuvent trouver leur place dans cette leçon. La théorie des corps et le cas particulier des corps finis peuvent aussi être évoqués de façon pertinente. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques deGershgorin. $\\$ Il ne s’agit par contre en aucun cas d’adapter le plan de la leçon 141 : l’irréductibilité des polynômes peut être évoquée mais ne doit pas être l’élément central de la leçon.
(2017 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Dans cette leçon on peut présenter des méthodes de résolution, de la théorie des corps, des notions de topologie (continuité des racines) ou même des formes quadratiques. Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d’Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). Il est apprécié de faire apparaître le lien solide entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices ; l’étude des valeurs propres de la matrice compagnon d’un polynôme permet d’entretenir ce lien. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois ou s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin.
(2016 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Dans cette leçon on peut présenter des méthodes de résolutions, de la théorie des corps, des notions de topologie (continuité des racines) ou même des formes quadratiques. Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d’Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). Notons le lien solide entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices ; les valeurs propres de la matrice compagnon d’un polynôme permet d’entretenir ce lien. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois ou s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin.
(2015 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Il s'agit d'une leçon au spectre assez vaste. On peut y traiter de méthodes de résolutions, de théorie des corps (voire théorie de Galois si affinités), de topologie (continuité des racines) ou même de formes quadratiques. Il peut être pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d'Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc. ). On pourra parler des applications de la réduction au calcul d'approximations de racines. Notons le lien solide entre la recherche des racines d'un polynôme et la réduction des matrices. Les valeurs propres de la matrice compagnon d'un polynôme permet d'entretenir ce lien. Les problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin, sont tout à fait appropriés à ce contexte.
(2014 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Il s'agit d'une leçon au spectre assez vaste. On peut y traiter de méthodes de résolutions, de théorie des corps (voire théorie de Galois si affinités), de topologie (continuité des racines) ou même de formes quadratiques. Il peut être pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d'Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). On pourra parler des applications de la réduction au calcul d'approximations de racines.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Attention, leçon piège par excellence.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    C'est vraiment dur de trouver des devs pour cette leçon... J'ai finalement enlevé Gauss Lucas et j'ai mis Gauss Wantzel (c'est bof) je le justifie en disant qu'une racine d'un polynôme reste une racine après automorphisme (idée de Galois). Puis il y'a quelques propriétés qui viennent des polynômes cyclotomiques et leurs racines.
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2023 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

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  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
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    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2020 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2018 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2017 : Leçon 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2016 : Leçon 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


2015 : Leçon 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formes de Hankel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai présenté dans une première partie les définitions de multiplicité algébrique et analytique, en mentionnant leur équivalence, puis la définition des fonctions symétriques élémentaires et relation coefficient-racine, et enfin mon premier développement, les formes de Hankel. J'ai ensuite parlé d'extension algébrique de corps avec le Perrin, puis de nombres constructibles avec mon deuxième développement.

    Le jury a choisi les formes de Hankel, et ne m'a jamais parlé de nombres constructibles..
    Les questions qui m'ont été posées :

    - Pourquoi la multiplicité analytique et égale à la multiplicité algébrique? (je me suis peut-être un peu embourbée dans ma démonstration, alors qu'il y avait plus simple), ils m'ont fait remarquer qu'il fallait un corps de caractéristique nulle pour que ma démo marche.
    - Quelle est la forme de Hankel du polynôme $X^3-aX^2 + bX -c$, en supposant connues les sommes de Newton? J'ai juste écrit la définition de la forme quadratique de l'énoncé sans aller plus loin, à mon avis, il voulait savoir si j'allais oublier les facteurs 2 ou non.
    - $X^n - X+1$ est-il scindé à racines simples? calculer $\sum_{\omega~racine} \frac 1\omega$
    - Pouquoi un corps fini n'est jamais algébriquement clos?
    - Soit $P \in \mathbb Z[X]$ tel que $P(0) \neq 0$ et $(*) : P(\omega) = 0 \implies |\omega| \leq 1$
    1) trouver $A \in \mathcal M_n(\mathbb Z) | \chi_A = P$
    2) MQ il n'existe qu'un nombre fini de $P \in \mathbb Z[X]$ vérifiant $(*)$
    3) conclure que les $\omega$ sont des racines de l'unité (pas fini, mais on n'était plus très loin)
    - Soit $x = (x_1,...,x_n) , y= (y_1,...,y_n) \in \mathbb C^n$ tels que, pour tout polynôme symétrique $P, P(x) = P(y)$. Montrer que $x$ et $y$ sont dans la même orbite pour l'action naturelle du groupe symétrique sur les n-uplets.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils m'ont pas mal apporté d'aide au cours de l'entretien, sans pour autant que je sois passive. J'ai su réagir à chaque indice. J'ai d'ailleurs trivialisé la dernière question en un rien de temps, alors que la personne qui m'a posé la question avait peur qu'on n'ait pas le temps de finir, ce qui a eu l'air de beaucoup impressionner un autre membre du jury.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je me suis sentie très à l'aise durant cet oral, ce qui m'a beaucoup surprise, parce que tout au long de l'année, j'ai toujours eu un peu de mal à être à confiante à l'oral.

  • Note obtenue :

    15.25


2019 : Leçon 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Développement: On m'a demandé de justifier l'initialisation d'une récurrence et pourquoi fermé + borné => compact en dim finie

    Plan : Je n'avais pas top insisté dans mon plan sur la partie "fonctions symétriques élémentaires" donc ils ont fait un gros focus dessus durant l'entretien.
    Questions :
    - pourquoi parle-t-on de fonctions "symétriques"?
    - résolution d'un système avec 3 inconnus où il fallait utiliser les fonctions symétriques élémentaires (sans me le dire évidemment ;) )
    - trouver les racines d'un polynôme de degré 3 sans racine évidente
    - f endomorphisme de E, un R-ev, tel que f²=Id. Montrer que E est de dim paire

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très souriants dès le début, très encourageant et bienveillants tout du long.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation : le président du jury est présent et très rassurant lors de notre premier tirage, la salle des tirages est séparée de la salle de préparation, personne ne vérifie si nos livres sont annotés, on se ballade comme on veut dans les couloirs à la recherche des livres qu'on veut (et il y en a beaucoup !!)
    Jury : on nous prend nos leçons et tous nos brouillons à la fin de l'épreuve pour les jeter

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Suites de Sturm

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On me demande de tester l'algorithme de Sturm sur un polynôme à 2 inconnues, de degré 3. Je fais toutes les divisions euclidiennes au tableau le jury avait l'air de les faire aussi sur un papier.. A la fin personne n'a trouvé le même résultat --> on passe à autre chose !
    Petite remarque du jury sur le fait que les symétries vectorielles ne sont pas forcément diagonalisables en caractéristique 2.
    On me demande à quelle moment l'hypothèse de la caractéristique 0 intervient lors de la preuve de la caractérisation d'une racine d'ordre k avec le polynôme dérivé. Je galère comme un naze, ils m'aident beaucoup.
    Ils me demandent un contre ex si on est en carac p : il était dans mon plan.
    Enfin on me pose un exo de dénombrement d'un ensemble ( qui était l'ensemble des zéros de 3 polynomes à 2 indéterminés je crois) on me fait poser une application chelou et je devais montrer qu'en fait l'ensemble c'était l'image réciproque de 0 par cette application. Ca a dérivé sur les corps finis j'ai pas tout suivi...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Extraordinairement gentil et aidant alors que j'étais trop naze.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment, il y avait une erreur au tout début de mon développement que je n'avais jamais remarqué donc ça met pas à l'aise.
    J'ai beaucoup hésité et j'ai l'impression que le jury m'a pas mal aidé. Je ne m'attendais pas à avoir une telle note avec ce que j'ai fait. Comme quoi, ne vous découragez pas même si vous pensez avoir râté !!!!!!

  • Note obtenue :

    14


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 449 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 399 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 307 versions au total)
Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel (utilisée dans 15 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 104 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 139 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 69 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 207 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 76 versions au total)
Théorie de Galois : Niveau L3-M1, Ivan Gozard (utilisée dans 10 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 105 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 52 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 34 versions au total)
Calcul Formel , Mignotte (utilisée dans 1 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 274 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 60 versions au total)
Algèbre pour la licence 3 , Risler (utilisée dans 8 versions au total)
Elements de théorie des anneaux , Calais (utilisée dans 6 versions au total)
Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre, Ramis, Deschamps, Odoux (utilisée dans 4 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 23 versions au total)